Tübitak Lise 1. Aşama 2013 Soru 35

[alpercay]

$f(x)=x+1+\lfloor{\sqrt{x}\rfloor}$ olmak üzere $\overbrace{f(f(\dots f(n)))}^{\text{21 kere}}=2013$ olmasını sağlayan en küçük $n$ pozitif tam sayısı nedir? (Burada $\lfloor{a}\rfloor$ ile, $a$ gerçel sayısından büyük olmayan en büyük tam sayı gösterilmektedir. )

$
\textbf{a)}\ 1214
\qquad\textbf{b)}\ 1202
\qquad\textbf{c)}\ 1186
\qquad\textbf{d)}\ 1178
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{D}$

İddia 1:
$\boxed{\left \lfloor \sqrt {f^{n}(x)} \right \rfloor \neq \left \lfloor \sqrt {f^{n+1}(x)} \right \rfloor \Longrightarrow \left \lfloor \sqrt {f^{n+1}(x)} \right \rfloor = \left \lfloor \sqrt {f^{n+2}(x)} \right \rfloor}$

$\left \lfloor \sqrt {f^{n}(x)} \right \rfloor  = a$ olsun.

$a^2 \leq f^n(x) \leq a^2 + 2a$ ve $a^2+2a+1\leq f^{n+1}(x)$.

$f$ nin tanımı gereği: $$a^2+2a+1\leq f^{n+1}(x) \leq a^2 + 3a+1 = a^2 + 3a + 1 < (a+2)^2$$ $$\Longrightarrow \left \lfloor \sqrt {f^{n}(x)} \right \rfloor = a + 1$$

$f^{n+1}(x)$ in en büyük değeri için $f^{n+2}(x)$ i hesaplarsak:
$$f^{n+2}(x)\leq a^2 + 3a+ 1 + 1 + a + 1 = a^2 + 4a+ 3 < (a+2)^2$$ olacağı için $$\left \lfloor \sqrt {f^{n+1}(x)} \right \rfloor = \left \lfloor \sqrt {f^{n+2}(x)} \right \rfloor = a+1$$ dir.$\blacksquare$


İddia 2:
$\boxed{\left \lfloor \sqrt {f^{n}(x)} \right \rfloor = \left \lfloor \sqrt {f^{n+1}(x)} \right \rfloor = a \Longrightarrow \left \lfloor \sqrt {f^{n+2}(x)} \right \rfloor = \left \lfloor \sqrt {f^{n+3}(x)} \right \rfloor = a+1 }$

$a^2 \leq f^n(x) < f^{n+1}(x) \leq a^2 + 2a$ olur.

$f^n(x)$ in en küçük değeri için $f^{n+2}(x)$ i hesaplarsak:

$a^2+a+1 \leq f^{n+1}(x)$ ve $f^{n+2}(x) \geq a^2 + a + 1+ 1+a = a^2 +2a+2 > (a+1)^2$.

$f^{n+1}(x)$ in en büyük değeri için $f^{n+2}(x)$ i hesaplarsak:
$f^{n+2}(x) \leq a^2 + 2a + 1+ a = a^2 +3a+1 < (a+2)^2$ olacağı için
$$(a+1)^2 < f^{n+2}<(a+2)^2 \Rightarrow \left \lfloor \sqrt {f^{n+2}(x)} \right \rfloor = a+1$$

İddia 1 gereği $\left \lfloor \sqrt {f^{n+1}(x)} \right \rfloor \neq \left \lfloor \sqrt {f^{n+2}(x)} \right \rfloor \Longrightarrow  \left \lfloor \sqrt {f^{n+2}(x)} \right \rfloor = \left \lfloor \sqrt {f^{n+3}(x)} \right \rfloor$. $\blacksquare$

$f^{21}(x) = 2013$ ve $44^2<2013<45^2$ olduğu için, $f^{22}(x) = 2013+1+44 = 2058 \geq 45^2$.
İddialardaki sonuçları geriye doğru işletirsek,

$\left \lfloor \sqrt {x} \right \rfloor  = \left \lfloor \sqrt {f(x)} \right \rfloor  = a$

$\left \lfloor \sqrt {f^2(x)} \right \rfloor  =  \left \lfloor \sqrt {f^{3}(x)} \right \rfloor  = a+1$

$\vdots$

$\left \lfloor \sqrt {f^{20}(x)} \right \rfloor  =  \left \lfloor \sqrt {f^{21}(x)} \right \rfloor  = a+10 = 44$

Buradan $a=34$ ve $34^2\leq x < 35^2$

$f^0(x) = x$,
$f(x) = x + 1 + 34 = x +35$,
$f^2(x) = x + 35 + 1 + 34 = x +70$
$f^3(x) = x + 70 + 1 + 35 = x + 106$
$f^4(x) = x + 106 + 1+ 35 = x + 142$
$f^5(x) = x + 142 + 1+ 36 = x + 179$

$\vdots$

$f^{21}(x) = x + 35 + 36 + 36 + 37 + 37 + \dots + 43 + 44 + 45 $.
Bu durumda, $f^{21}(x) = 2013 = x + 35 + 80\cdot 10  \Rightarrow x = 1178$ elde edilir.