Tübitak Lise 1. Aşama 2013 Soru 08

[alpercay]

Köşeleri, verilen bir düzgün yirmigenin köşelerinden dördünde yer alan kaç deltoid vardır?

$
\textbf{a)}\ 105
\qquad\textbf{b)}\ 100
\qquad\textbf{c)}\ 95
\qquad\textbf{d)}\ 90
\qquad\textbf{e)}\ 85
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{E}$

Yirmigenimiz $A_1A_2\dots A_{20}$ olsun.
Simetri ekseni $A_1A_{11}$ olan $9$ deltoid vardır. ($A_2A_{20},A_3A_{19}, \dots, A_{10}A_{12}$ diğer köşegenler)
Benzer şekilde $A_2A_{12}$ simetri eksenine sahip deltoid sayısı da $9$ dur.
Bu durumda $A_1A_{11}, A_2A_{12}, \dots, A_{10}A_{20}$ simetri eksenleri için $9\cdot 10 = 90$ deltoid vardır.
Peki bu $90$ deltoidden aynı olanlar var mı?
Deltoid eşkenar dörtgen olduğu için iki simetri ekseni olacaktır. Bu durumları çıkarmamız gerekiyor.
$A_1A_6A_{11}A_{16}$ deltoidinin iki simetri ekseni var. Bu deltoid hem $A_1A_{11}$ simetri ekseni için sayıldı, hem de $A_6A_{16}$ simetri ekseni için sayıldı.
$A_2-A_7$, $A_3-A_8$, $A_4-A_9$ ve $A_5-A_{10}$ nokta çiftleri ile başlayan eşkenar dörtgenlerde de aynı durum söz konusu. Bu durumda aradığımız cevap $90 - 5 = 85$ tir.