Tübitak Lise Takım Seçme 2013 Soru 3

[Lokman Gökçe]

$\widehat{B}$ ve $\widehat{C}$ açılarının ölçüleri farklı olan dar açılı bir $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi $O$ ve iç teğet çemberinin merkezi de $I$ dır. $[BC]$, $[CA]$, $[AB]$ kenarlarının orta noktaları sırasıyla, $D$, $E$, $F$ ve $I$ dan $[AB]$ ye inilen dikmenin ayağı $T$ olsun. $DEF$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi $P$ ve $[OI]$ doğru parçasının orta noktası $Q$ olmak üzere, $A$, $P$, $Q$ noktaları doğrudaş ise, $$\dfrac{|AO|}{|OD|}-\dfrac{|BC|}{|AT|}=4$$ olduğunu kanıtlayınız.

(Fehmi Emre Kadan)