Tübitak Lise Takım Seçme 2012 Soru 2

[Lokman Gökçe]

$D$, dar açılı bir $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarı üstünde köşelerden farklı bir nokta olmak üzere; $M_1$, $M_2$, $M_3$, $M_4$, $M_5$ sırasıyla, $[AD]$, $[AB]$, $[AC]$, $[BD]$, $[CD]$ doğru parçalarının orta noktaları; $O_1$, $O_2$, $O_3$, $O_4$ sırasıyla, $ABD$, $ACD$, $M_1M_2M_4$, $M_1M_3M_5$ üçgenlerinin çevrel çemberlerinin merkezleri; $S$ ve $T$ de sırasıyla, $AO_1$ ve $AO_2$ doğru parçalarının orta noktaları olsun. $SO_3O_4T$ dörtgeninin bir ikizkenar yamuk olduğunu kanıtlayınız.

(Selim Bahadır)

[geo]

$M_1M_2$ nin orta noktası $P$; $M_1M_3$ ün orta noktası $R$ olsun.
Açık şekilde $O_1M_4 \parallel PO_3$ ve $\triangle M_4M_1M_2 \sim \triangle ABD$ benzerliğinden $O_3P = O_1M_4$.
$AP=PM_4$ ve $AS = SO_1$ olduğundan $SP \parallel O_1M_4$, dolayısıyla da $S, P, O_3$ doğrusal ve $SP = PO_3$.
Aynı işlemleri $O_2$ ve $O_4$ için yaptığımızda, $TR=RO_4$ ve $T,R,O_4$ doğrusal olacak. $O_3P \parallel O_4R$ olduğu için $SO_3O_4T$ bir yamuk; $RP$, bu yamuğun  simetri ekseni olduğu için de ikizkenar bir yamuktur.