Tübitak Lise Takım Seçme 2011 Soru 4

[Lokman Gökçe]

$D$, $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarı üstünde köşelerden farklı bir nokta olmak üzere; $ABC$, $ABD$ ve $ADC$ üçgenlerinin içteğet çemberlerinin merkezleri sırasıyla, $I$, $I_{1}$ ve $I_{2}$ dir. $AI_{1}I$ ve $ADI_{2}$ üçgenlerinin çevrel çemberleri $A$ dan farklı bir $E$ noktasında, $ AII_{2}$ ve $AI_{1}D$ üçgenlerinin çevrel çemberleri de $A$ dan farklı bir $F$ noktasında kesişiyor. $|AI_{1}|=|AI_{2}|$ ise, $$\dfrac{|EI|}{|FI|}\cdot \dfrac{|ED|}{|FD|}=\dfrac{|EI_{1}|^{2}}{|FI_{1}|^{2}}$$ olduğunu kanıtlayınız.

(Şahin Emrah)

[ERhan ERdoğan]

$\angle AI_{1}I=\angle ADI_{2}$ ve $\angle IAI_{1}=\angle DAI_{2}$ olduğundan, $\triangle{AI_{1}I}$ ile $\triangle{ADI_{2}}$ nin çevrel çemberleri ikinci kez $I_{2}I$ ve $DI_{1}$ doğrularının kesim noktasında kesişirler.
Benzer şekilde, $\angle ADI_{1}=\angle AI_{2}I$ ve $\angle I_{1}AD=\angle IAI_{2}$ olduğundan, $\triangle{AII_{2}}$ ile $\triangle{AI_{1}D}$ nin de çevrel çemberleri de ikinci kez $I_{1}I$ ve $DI_{2}$ doğrularının kesim noktasında kesişirler.
Bu noktalar sırasıyla $E$ ve $F$ olarak bilinmektedir.
Açılar incelendiğinde aşağıdaki benzerliklere ulaşabiliriz.
$$\triangle{AI_{1}E}\sim\triangle{AI_{2}F}\Rightarrow\dfrac{|EI_{1}|}{|FI_{2}|}=\dfrac{|AE|}{|AI_{2}|}=\dfrac{|AI_{1}|}{|AF|}\Rightarrow\dfrac{|EI_{1}|^{2}}{|FI_{2}|^{2}}=\dfrac{|AE|}{|AF|}$$
$$\triangle{AIE}\sim\triangle{AFD}\Rightarrow\dfrac{|AE|}{|AD|}=\dfrac{|EI|}{|FD|}$$
$$\triangle{AED}\sim\triangle{AIF}\Rightarrow\dfrac{|AD|}{|AF|}=\dfrac{|ED|}{|FI|}$$
Bulunan son iki orantıdan,
$$\dfrac{|AE|}{|AF|}=\dfrac{|EI|}{|FI|}\cdot\dfrac{|ED|}{|FD|}$$
elde edilir.