Tübitak Lise Takım Seçme 2009 Soru 5

[Lokman Gökçe]

Bir $ABC$ üçgeninde, $A_1$, $B_1$ ve $C_1$, iç teğet çemberin sırasıyla, $BC$, $AC$ ve $BC$ kenarlarına değdiği noktalar olmak üzere, $$ \sqrt{\dfrac{|AB_{1}|}{|AB|}}+\sqrt{\dfrac{|BC_{1}|}{|BC|}}+\sqrt{\dfrac{|CA_{1}|}{|CA|}}\le \dfrac{3}{\sqrt{2}}$$ olduğunu kanıtlayınız.

(Semih Yavuz)

[MATSEVER 27]

$ AC_1 = AB_1 = x, BC_1 = BA_1 = y, CA_1 = CB_1 = z$ olsun. Soru $x,y,z$ pozitif gerçel sayıları için;
$$ \sum_{cyc}\sqrt {\frac {x}{x + y}} \le \frac {3}{\sqrt {2}}$$
haline döner. Buradan da;
$$\sum_{cyc}\sqrt {\frac {x}{x + y}} = \sum\frac {\sqrt {(xy + xz)(z + x)}}{\sqrt {(x + y)(y + z)(z + x)}} \le \frac {\sqrt {2(xy + yz + zx)}\sqrt {2(x + y + z)}}{\sqrt {(x + y)(y + z)(z + x)}} = 2\sqrt {1 + \frac {xyz}{(x + y)(y + z)(z + x)}} \le \frac {3}{\sqrt {2}}$$
diyerek soruyu bitirebiliriz. İspat biter.

$\text{NOT:}$ $(x+y)(y+z)(z+x) \ge 8xyz$ olduğunu $A.G.O$ dan kolayca elde edebiliriz.