Tübitak Lise Takım Seçme 1997 Soru 1

[Lokman Gökçe]

$A$ açısı dik açı olan $ABC$ üçgeninin hipotenüsüne ait yükseklik ayağı $H$ dir. $ABC$, $ABH$ ve $AHC$ üçgenlerinin iç teğet çemberlerinin yarıçapları toplamının $|AH|$ uzunluğuna eşit olduğunu gösteriniz.

[geo]

$r_{ABC}=u-a$ dır. $r_{ABC}:r_{ABH}:r_{AHC}=a:c:b$ olacağından $$r_{ABC}+r_{ABH}+r_{AHC}=\left(u-a\right)\left(1+\dfrac{c}{a}+\dfrac{b}{a}\right)=\left(u-a\right)\left(\dfrac{a+b+c}{a}\right)=\dfrac{r\cdot 2u}{a}=\dfrac{2\cdot \dfrac{ah}{2}}{a}=h$$ elde edilir.