Tübitak Lise 2. Aşama 2008 Soru 1

[geo]

Diklik merkezi $H$ ve çevrel merkezi $O$ olan dar açılı bir $ ABC$ üçgeninin $BC$, $AC$ ve $AB$ kenarlarının orta noktaları sırasıyla $A_{1}$, $B_{1}$ ve $C_{1}$ olsun. $[HA_{1}$, $ [HB_{1}$ ve $[HC_{1}$ ışınları, $ABC$ üçgeninin çevrel çemberini, sırasıyla $A_{0}$, $B_{0}$ ve $C_{0}$ noktalarında kessin. $ A_{0}B_{0}C_{0}$ üçgeninin diklik merkezi $H_{0}$ ise, $O$, $H$ ve $H_{0}$ noktalarının doğrudaş olduğunu gösteriniz.

(Ömer Faruk Tekin, Semih Yavuz)

[gahiax]

 $ ABC$ üçgeninin  dokuz    nokta çemberinin merkezi $F$  olsun

$2FA_{1}=OA_{1}$ ve$ | OF|=|FH|$  olduğundan  $HA_{1}=A{_1}A{_0}$  bulunur.Benzer şekilde $HC{_1}=C{_1}C{_0}$ ve  $HB{_1}=B{_1}B{_0}$ olduğu gösterilir.Bu durumda
$C{_1}B{_1}A{_1}$  üçgeni ile $C{_0}B{_0}A{_0}$ benzer üçgenleri $H$ merkezli homotetik üçgenlerdir.Ayrıca $O$ noktası $C{_1}B{_1}A{_1}$ üçgeninin diklik merkezi olduğunda $O,H,H{_0}$ doğrusaldır.

[geo]

(Mehmet KAYSİ)

$H$ den $BC$ ye inilen dikmenin ayağı $F$, $HF$ nin çemberi kestiği nokta $D$ olsun. $H$ nin $A_1$ e göre simetriği $H_1$ olsun. $\left[HF\right]=\left[FD\right]$ ve $\left[HA_1\right]=[A_1H_1]$ olduğundan $FA_1\parallel DH_1$ olur. $HFA_1$ ile $HDH_1$ benzer üçgenlerdir ve benzerlik oranı $\dfrac{1}{2}$ dir. O zaman $\left[DH_1\right]$ in orta dikmesi $A_1$ den geçer ve aynı zamanda $BC$ nin orta dikmesi olur. Bu durumda $\left[DH_1\right]$ in orta dikmesi $A_1$ den ve $O$ dan geçer. $O$ dan $\left[DH_1\right]$ e inilen dik, $\left[DH_1\right]$ in orta noktasından geçtiği için $H_1$ çember üzerinde olmak zorundadır, yani $H_1$ ile $A_0$ çakışıktır. O zaman $\left[HA_1\right]=\left[A_1A_0\right]$ dır. Dahası, $m\left(\widehat{ADA_0}\right)={90}^{\circ }$ olduğundan $\left[AA_0\right]$ çaptır. (Yani $A,O,A_0$ doğrudaştır.)

Benzer şekilde $B,O,B_0$ ve $C,O,C_0$ da doğrudaştır. Yani $A_0B_0C_0$ üçgeni $ABC$ üçgeninin $O$ etrafında ${180}^{\circ }$ döndürülmesiyle elde edilmiştir. Bu durumda $H_0$ da $H$ nin etrafında ${180}^{\circ }$ döndürülmesiyle elde edilmiştir. O zaman $m\left(\widehat{HOH_0}\right)={180}^{\circ }$ olur.