Tek çözüm $f(x)=x$ tir.
İlk önce $f$’nin birebir fonksiyon olduğunu kanıtlayalım. $(i)$’de $y$ yerine $0$ koyarsak eşitlik$f(f(x^2)+f(0))=x^2+2f(0)$ olur. Her $a\geq 0$ için,
$$f(f(a)+f(0))=a+2f(0) \tag{1}$$ olduğunu söyleyebiliriz. Bu da $f$’nin negatif olmayan reel sayılar için birebir olduğunu gösterir. Şimdi tüm sayılar için birebir olduğunu gösterelim. ${{y}_{1}}$ ve ${{y}_{2}}$ keyfi reel sayılar olsun. $(i)$’den dolayı herhangi sabit bir $y$ sayısı için $f$ üstten sınırlı değildir. Eğer $f({{y}_{1}})=f({{y}_{2}})$ ise $(i)$’den dolayı $f(f(x^2)+ y_1 + f(y_1)) = f(f(x^2)+ y_2 + f(y_2))$ olur. Yeterince büyük bir $x$ için $f(x^2)+ y_1 + f(y_1)$ ve $f(x^2)+ y_2 + f(y_2)$ pozitif olur ve buradan da ${{y}_{1}}={{y}_{2}}$ olur.
Şimdi $f(0)=0$ olduğunu ispatlayalım.
Eğer $f(0)\le 0$ ise; $(1)$’de $a=-2f(0)$ yazalım.($a$ negatif olmayan bir sayı olduğundan bunu yazabiliriz.) $f(f(-2f(a)) + f(0)) = 0$ olur. Buradan bir $c$ sayısı için $f(c)=0$ olduğunu söyleyebiliriz. Eğer $(i)$’de de $x=0$ ve $y=c$ koyarsak $f(f(0)+c)=0$ olduğunu buluruz. $f$ birebir fonksiyon olduğundan dolayı da $f(0)+c=c$ yani $f(0)=0$ olur.
Eğer $f(0)\ge 0$ ise; $(i)$’de $x=y=0$ koyalım. $f(2f(0))=2f(0)$ bulunur. Şimdi $(1)$’de $a$ yerine $3f(0)=f(0)+f(2f(0))$ yazalım. (a negatif olmayan bir sayı olduğundan bunu yazabiliriz.) Bu durumda eşitlik $f(a) = f(f(0)+f(2f(0))) = 2f(0) + 2f(0) = 4f(0)$ olur. Her iki tarafa $f(0)$ eklersek $f(f(a)+f(0))=f(5f(0))=3f(0)+2f(0)=5f(0)$ (Bir defa $(1)$’i kullandık.) olur.
Şimdi $(i)$’de $x=0$ ve $y=2f(0)$ yazarsak; $f(5f(0))=4f(0)$ olur. Bu durumda $f(5f(0))$ iki farklı değer alır ve $4f(0)=5f(0)$, $f(0)=0$ olur.
Bu durumda $(1)$’de $f(0)$ yerine $0$ koyarsak her $a\ge 0$ için $f(f(a))=a$ olur. $(i)$’de $x$ yerine $0$, $y$ yerine $f(a)$ koyarsak $f(f(a)+a)=2f(f(a)) = 2a$ olur. Bir de $x$ yerine $0$, $y$ yerine $a$ koyarsak $f(a+f(a))=2f(a)$ olur ve her $a\ge 0$ için $$f(a)=a \tag{2}$$ olur.
Herhangi bir ${{y}_{0}}$ için ${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}+f({{y}_{0}})>0$ olacak şekilde ${{x}_{0}}$ bulunur. O halde $(i)$’yi ve $(2)$’yi kullanarak $f(x_0^2 + y_0 + f(y_0)) = x_0^2 + y_0 + f(y_0)=x_0^2+2f(y_0)$ eşitliğini elde ederiz. Buradan da her $x$ için $f(x)=x$ olduğunu görürüz.
