IMO 1959-2 Sorusunun Karmaşık Sayılarda Çözümü

[geo]

A bir gerçel sayı olmak üzere √(x+√(2x-1)) + √(x-√(2x-1)) = A eşitliğini karmaşık sayılarda çözünüz.

[senior]

iki tarafın karesini alalım:
2x + 2√(x²-2x+1) = A²
2x + 2|x - 1| = A² --> x + |x-1| = A²/2 = B
x karmaşık kısmı olan bir sayı olamaz çünkü |x-1| reel. O zaman x de reel, ve x < 1 olursa eşitlik 1 = B çıkar, bu da sadece A = √2 için mümkündür. Yani A = √2 için sonsuz sayıda reel çözüm var ( x < 1 ) .
x > 1 durumunda x = (A²+2)/4 olucak. Yalnız Burada A > √2 olmalı ki varsayımımız doğru çıksın.

Yani A < √2 için çözüm yok
A = √2 için x < 1 sonsuz çözüm var (x reel). (Kök içindeki 2x-1 karmaşık çıkabilir)
A > √2 için ise x = (A²+2)/4