İçerme dışarma prensibi sonlu matematiğin çok kullanışlı ve temel formüllerinden biridir. Birleşim kümesinin eleman sayısını bulmaya yarar. İlk olarak sonlu elemanlı bir X kümesinin eleman sayısını s(X) ile gösterdiğimizi düşünelim.
E evrensel küme ve A, B, C, D ... bu evrensel kümeye ait n tane alt küme olsun.
n = 2 için s(AUB) = s(A) + s(B) - s(A∩B)
n = 3 için s(AUBUC) = s(A) + s(B) + s(C) - s(A∩B) - s(B∩C) - s(C∩A) + s(A∩B∩C)
n = 4 için (AUBUCUD) = s(A) + s(B) + s(C) + s(D) - s(A∩B) - s(A∩C) - s(A∩D) - s(B∩C) - s(B∩D) - s(C∩D) + s(A∩B∩C) + s(A∩B∩D) + s(A∩C∩D) + s(B∩C∩D) - s(A∩B∩C∩D)
Bir soru yazalım: {1, 2, 3, ... ,1001} kümesinin elemanlarından kaç tanesi 7 veya 11 veya 13 ile bölünebilir?
Çözüm 1: A = {7, 14, 21, ... , 1001}, B = {11, 22, 33, ... , 1001}, C = {13, 26, 39, ..., 1001} dersek bizden s(AUBUC) değeri sorulmaktadır. s(A) = 143, s(B) = 91, s(C) = 77, s(A∩B) = 13 s(B∩C) = 7, s(C∩A) = 11, s(A∩B∩C) = 1 olduğundan içerme dışarma prensibi gereğince s(AUBUC) = 143 + 91 + 77 - 13 - 7 - 11 +1 = 281 bulunur.
Çözüm 2: İçerme dışarma prensibinin estetik uygulamalarından birisi de Euler - Φ (phi) fonksiyonudur. 1001 = 7.11.13 olduğundan Φ(1001) = (7 - 1)(11 - 1)(13 -1) = 6.10.12 = 720 dir. Problemimizi cevabı ise ilginç bir şekilde 1001 - 720 = 281 oluyor. İkinci çözümün detaylarına girmeyelim. Euler - Φ fonksiyonu ile içerme dışarma formülü arasındaki ilişkiyi siz yakalamaya çalışınız.
