Cevap: n = 29
Çözüm: Bazen en iyi durumu düşünerek ilerlemek en iyisidir! En azından problemi daha anlaşılır kılacaktır. n nin en küçük değeri isteniyor. n > 1 olduğundan n = 2 olabilir mi diye bakalım.
İkişer ikişer aralarında asal tüm altkümelerde en az bir asal sayı olacak mı? Oluyorsa n = 2 dir, olmuyorsa da n > 2 dir
Tüm iki elemanlı aralarında asal kümelerin listesi olan A kümesini düşünelim. Bu listedeki kümelerden bazıları {1, 2}, {3, 2}, {5, 3} ... vs olup en az bir asal sayı içermektedir. Fakat A listesinde {9, 35}, {14, 15} gibi aralarında asal sayı çiftleri bulunduran kümeler de vardır ve bunlarda asal sayı bulunmamaktadır. Demek ki n = 2 olmuyor. n > 2 dir.
n = 3 durumuna bakalım. Tüm üç elemanlı, elemanları ikişer ikişer aralarında asal kümelerin listesi olan B kümesini düşünelim. Bu listedeki kümelerden bazıları {1, 2, 3}, {1, 3, 5}, {4, 5, 9}, ... vs olup üç eleman ikişer ikişer aralarında asaldır. Fakat B listesinde {6, 35, 143} gibi kümeler de vardır ve hiç asal sayı içermemektedir. Dolayısıyla n = 3 olamaz. n > 3 tür.
n = 4 de olamaz n = 5 de olamaz. {22, 51, 65, 91} ve {22, 51, 65, 91, 121} kümeleri buna örnektir... n yi biraz daha büyütmemiz gerekecek. 44
2 < 2008 < 45
2 olduğundan 2008 in karekökünden küçük en büyük asal sayı 43 tür. 43 den küçük olan 13 asal sayıyı ve 43 den büyük 13 asal sayıyı kullanarak bir küme yazacağız. {1, 2.103, 3.101, 5.97, 7.89, 11.83, 13.79, 17.73, 19.71, 23.67, 29.61, 31.59, 37.53, 41.47, 43
2} kümesinde herhangi iki eleman aralarında asaldır. Bununla beraber kümede asal sayı bulunmamaktadır. Ters örnek vermek sıretiyle n = 28 bile olamadığı anlaşılmaktadır. n > 28 dir.
Şimdi n = 29 ters örnek olabilir mi yoksa istenen durum sağlanmak zorunda mıdır, bunu ispatlayacağız.
Eğer n = 29 eleman da yeterli olmuyorsa ters örnek listesinde ikişer ikişer aralarında asal olup asal sayı olmayan elemanlar vardır. 1 in bu listede olduğunu düşünebiliriz. geriye 28 eleman kaldı. Bu elemanlar bileşik sayılardır. Yani, birbirinden farklı olması gerekmeyen en az iki asal sayının çarpımıdır. Çarpımdaki bu asalların her ikisi birden 43 den büyük olamaz. Zira 47
2 > 2008 olup bu çarpım 2008 i aşar. Demek ki 14 tane asal sayıdan oluşan {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43} listedeki sayılar 28 tane sayından her birinde en az bir defa çarpan olarak görülecek.
Güvercin Yuvası İlkesi gereğince [28/14] = 2 tane aynı asal çarpana sahip en az iki sayı bulunur. Bu ise 28 sayının aralarında asallığı kabulü ile çelişir. Demek ki
n = 29 elemanlı her bir elemanı ikişer ikişer aralarında asal kümelerde, kümelerin seçimi nasıl yapılırsa yapılsın ise, bu kümelerin elemanlarından en az biri asal sayı olmalıdır. İşte bu, n için en küçük değerdir.
NOT: 1 in ters örnek listesinde olduğunu düşünebiliriz demiştim. Düşünsek ne olur gördük, sanki düşünmesek ne olur ki? ... O zaman [29/14] + 1 = 3 olduğundan aynı asal çarpana sahip en az 3 tane sayı bulunur. Aralarında asallık kriteri, 1 varken bile olmuyordu, 1 yokken hiç olmaz!
