mafetya 2012

[kahyaoglu_4635]

Simdiden teşekkürler...

[Lokman Gökçe]

2. sorunun çözümü:

A₁, A₂, ... , A₆ noktalarından herhangi iki tanesini seçelim. C(6,2) farklı seçim vardır. Bu noktaların çokgenin merkezine göre simetrisi olan noktaları da alırsak dikdörtgen elde edilir. Yani oluşabilecek dikdörtgen sayısı C(6, 2) dir. Bunu biraz daha açabiliriz: Diyelim ki A₁ ve A₃ noktalarını seçtiniz. Bunların merkeze göre simetrileri sırasıyla A₇ ve A₉ olur. A₁A₃A₇A₉ dikdörtgeni elde edilir.

Tüm durumların sayısını bulmak kolaydır: C(12, 4). O halde istenen olasılık = C(6, 2)/C(12, 4) = 1/33

[Lokman Gökçe]

3. sorunun çözümü:

S(n) dizisinin terimlerinin {1 3 6 0 5 1 8 6 5 5 6 8 1 5 0 6 3 1 0 0}  {1 3 6 ... 0 0} şeklinde 20 li gruplar halinde tekrar ettiğini gözlemleyelim. Yani S(n) periyodiktir ve periyodu da 20 dir. İlk 20 terimin toplamı = 1 + 3 + 6 + 0 + 5 + 1 + 8 + 6 + 5 + 5 + 6 + 8 + 1 + 5 + 0 + 6 + 3 + 1 + 0 + 0 = 70 dir. İlk 100 terimde 5 defa 20'li grup oluşacağından 70.5 = 350 elde edilir.

[Lokman Gökçe]

1. sorunun çözümü: Kırmızılar K, Siyahlar S, Beyazlar B ile gösterilsin. Önce 10 tane özdeş kırmızıyı yan yana koyalım. Sonra bunların başlangıç, ara ve bitiş boşluklarının 11 tane olduğunu gözlemleyelim. Bu boşluklara diğer renklerden yerleştireceğiz.

1. durum: Kırmızıların en soluna S yerleştirdiğimizi düşünelim. Bu halde kırmızıların en sağını boş bırakmak zorundayız. Elbette bunun tersine olarak en sağa S ya da B yerleştirirsek en solu boş bırakmak zorundayız. Aksi halde yan yana bulunan 9 tane K ların arasını 8 tane diğer renklerle dolduramayız. Demek ki en sağdaki ya da en soldaki bilyelerden en az biri K olmak zorundadır.

En sola S geldiğinde K ların arasındaki 9 boşluktan 4 tanesine daha S yerleştireceğiz. C(9,4) olur. K lar arasında kalan 5 boşluğa da 5 tane B tek türlü (mecburi olarak) dağıtılır.

Aynı işlemi en sağa S koyarak yapabiliriz. Daha sonra en sola B koyarak (en sağ boş bırakılır) ya da en sağa B koyarak (en sol boş bırakılır) aynı işlemleri yaparsak toplamda 4.C(9, 4) elde ederiz.

2. durum: 10 tane K yan yana koyulduktan sonra hem en sağ hem de en sol boş bırakılır. Aradaki 9 boşluktan 5 tanesi seçilip buralara S ler dağıtılır. C(9, 5) olur. Kalan 4 boşluğa 4 tane B yi (mecburi olarak) tek türlü dağıtabiliriz. Son kalan B için, K lar ve S ler arasında 10 tane boş yer oluştuğundan toplam 10.C(9, 5) olur.

Bu iki durumun tıplamından 4.C(9, 4) + 10.C(9, 5) = 4.C(9, 4) + 10.C(9, 4) = 14.C(9, 5) = 14.126 = 1764 elde edilir.

NOT: 1764 = 42² dir fakat bunun sorunun çözümüyle bir bağlantısı olup olmadığını bilmiyorum.

[proble_m]

1. sorunun çözümü: Kırmızılar K, Siyahlar S, Beyazlar B ile gösterilsin. Önce 10 tane özdeş kırmızıyı yan yana koyalım. Sonra bunların başlangıç, ara ve bitiş boşluklarının 11 tane olduğunu gözlemleyelim. Bu boşluklara diğer renklerden yerleştireceğiz.

1. durum: Kırmızıların en soluna S yerleştirdiğimizi düşünelim. Bu halde kırmızıların en sağını boş bırakmak zorundayız. Elbette bunun tersine olarak en sağa S ya da B yerleştirirsek en solu boş bırakmak zorundayız. Aksi halde yan yana bulunan 9 tane K ların arasını 8 tane diğer renklerle dolduramayız. Demek ki en sağdaki ya da en soldaki bilyelerden en az biri K olmak zorundadır.

En sola S geldiğinde K ların arasındaki 9 boşluktan 4 tanesine daha S yerleştireceğiz. C(9,4) olur. K lar arasında kalan 5 boşluğa da 5 tane B tek türlü (mecburi olarak) dağıtılır.

Aynı işlemi en sağa S koyarak yapabiliriz. Daha sonra en sola B koyarak (en sağ boş bırakılır) ya da en sağa B koyarak (en sol boş bırakılır) aynı işlemleri yaparsak toplamda 4.C(9, 4) elde ederiz.

2. durum: 10 tane K yan yana koyulduktan sonra hem en sağ hem de en sol boş bırakılır. Aradaki 9 boşluktan 5 tanesi seçilip buralara S ler dağıtılır. C(9, 5) olur. Kalan 4 boşluğa 4 tane B yi (mecburi olarak) tek türlü dağıtabiliriz. Son kalan B için, K lar ve S ler arasında 10 tane boş yer oluştuğundan toplam 10.C(9, 5) olur.

Bu iki durumun tıplamından 4.C(9, 4) + 10.C(9, 5) = 4.C(9, 4) + 10.C(9, 4) = 14.C(9, 5) = 14.126 = 1764 elde edilir.

NOT: 1764 = 42² dir fakat bunun sorunun çözümüyle bir bağlantısı olup olmadığını bilmiyorum.

Lokman hocam ben kısaca 7.10!/(5!.5!) diyorum. 11 bitiş boşluğunun arada kalan 9 tanesi dolduktan sonra elimizde kalan son renk  için 7 yer kalır. Bunlardan 2 si uçlar diğer beşi ise arada oluşan boşluklardır. Arada oluşanlar "_K_..._K_...._K_" biçimindedir. Buraya biz mesela "_K_...SKY...._K_" koyalım. Elimizde son kalan da mesela Y olsun. Bu durumda bu Y nin gelebileceği yer K nın soluna yerleşen S nin sağı veya soludur. "_K_..._S_KY...._K_". Böyle arada kalan 5 yer ve her biri için YS SY biçiminde 2 durum vardır. Fakat bu durumlar 10!/(5!.5!) içinde sayılırlar.

Bu arada bu çözüme benzer çözüm TMOZ da da bir üye tarafından verilmiş...

[Lokman Gökçe]

güzel çözümünüz için teşekkürler Barış hocam,

n tane B, n tane S, 2n tane K için istenen sıralama sayısının (4 + 2n).C(2n - 1, n-1) olduğunu ispatladım. Bu ispat yukarıda verdiğim çözümle aynı biçimde yapılabilir.

[proble_m]

4. soru için ben şöyle düşündüm:

Her hangi n tane 3 ve arasındaki 3 kart 4n - 3 kart yapar. Örneğin

n=2 olsun. 3 xxx 3 toplam 4.2-3=5
n=3 olsun 3 xxx 3 xxx 3 toplam 4.3-3=9

Burada 3 leri arttırmak için xxx kalıbının araya kart alan bir kalıp olmaması gerekir. Mesela xxx yerine 111 yazarsak 1x1x1 olacak biçimde 2 kart daha gerekir. Bu şartlarda xxx yerine 121 almak en iyi seçimdir. Araya ekstra karta gerek yoktur.
Yani modelimiz
                     312131213.....31213
biçiminde olabilir.
Diyelim ki n tane 3 olsun.
4n-3=2011 dersek n değeri en yakın tamsayı olarak 503 çıkar. Yani 4n-3=2009 olur. Eklenmesi gerek 2 kartta 1 olur ve uçlara eklenir.
Yani kart dizilimi

1312131213.....312131 biçimindedir.

[proble_m]

Benim çözüm yöntemiyle de (n + 2). C(2n , n) elde edilir. Zaten özünde aynı formüller....

[kahyaoglu_4635]

Çok teşekkürler.  varolun hocalarım....Saygılar