IMO Longlist–1987 {çözüldü}

[ERhan ERdoğan]

Soru.[IMO Longlist–1987]: P noktasında kesişen K₁, K₂, K₃ çemberlerinin merkezleri sırasıyla O₁, O₂, O₃ noktalarıdır.
                                                                K₁∩K₂ = {P,A}
                                                                K₂∩K₃ = {P,B}
                                                                K₃∩K₁ = {P,C}
olsun.K₁ çemberi üzerinde keyfi bir X noktası verilsin.XA, K₂ çemberini Y'de, XC'de K₃ çemberini Z'de kessin.

a) Z,B,Y noktaları doğrusaldır.
b) |XYZ| ≥ 4.|O₁O₂O₃|                                     
 
 

[geo]

a)
∠PBZ = ∠PCX = ∠PAY = 180 - ∠PBY olduğu için Y,B,Z doğrusaldır.

b)
Merkezlerinden XAPC, PAYB, PBZC kirişler dörtgenlerinin kenarlarına dikmeler inelim. Açıklayıcı olsun diye O₁ den XA, XC ya inilen dikmelerin ayakları sırasıyla Q ve R olsun. ∠QO₁O₂ = ∠PAY = ∠PBZ = ∠PCX = 180 - ∠RO₁O₃ ve ∠YXZ + ∠QO₁R = 180 olduğu için ∠O₂O₁O₃ = ∠YXZ elde edilir.
Benzer şekilde, devam edilirse O₁O₂O₃ ~ XYZ elde edilir.
O₃ den CZ'ye inilen dikme S olsun. XR = RC ve CS=SZ dolayısıyla da RS = XZ/2 elde dilir. O₁O₃SR dik yamuk olduğu için O₁O₃ ≥  RS = XZ/2 elde edilir. Yani 2 ≥ XZ/O₁O₃, 4≥ XZ²/O₁O₃² = [XYZ]/[O₁O₂O₃ ] olur. Bu durumda 4[O₁O₂O₃ ] ≥ [XYZ] elde ediliyor*.
*Soruda verilenin ters yönlüsü çıkıyor. Soruda yanlış yazılmış.