Düzgün Yedigen {çözüldü}

[geo]

ABCDEFG düzgün yedigeninde [AC] üzerinde BC=CH olacak şekilde bir H noktası ile CI=BH olacak şekilde bir I noktası alınıyor. BI/BH=√2 olduğunu gösteriniz.

[FEYZULLAH UÇAR]

Bahsi geçen üçgen aşağıdaki ekte verielen üçgen..yanlış hatırlamıyorsam Darj isimli eski olimpiyatcıya aitti
Alper Çay Abimin Hoşgörüsüne sığınarak çözümü yolluyorum

[geo]

A dan BC ye çizilen paralel ile BH doğrusu J de keşissin.
∠BCA = ∠BAC = ∠HAJ = π/7 dir. HC=BC olduğu için ∠BHC = 3π/7 ve ∠ABH = 2π/7 = ∠BAJ, bu durumda paralellikten dolayı HJ=k ise BJ=AJ=AH=ak=k+1 ⇒ k=1/(a-1) ⇒ ak=a/(a-1) olur.
△ BAC de H ve I noktaları için Stewart'ın özel halini uygularsak;
a²-a.a/(a-1) = 1 ⇒ a². (a-2)/(a-1) = 1 ⇒ a³-2a²=a-1 ve
a²-(a/(a-1)+a-1).1 = (a³-2a²+a-1)/(a-1) = (a-1+a-1)/(a-1) = 2 = x² ⇒ x=√2 elde ederiz.