2013 Antalya Ulusal Matematik Olimpiyatı 2. aşama soruları

[hikmet548]

Fotoğraf biraz kötü çıkmış olabilir.  Alelacele çektim.

Çözümleri yazanlar olursa herkese faydası olur.

Kolay gelsin 

edit: dosya boyutunun azaltılması için ek değiştirilmiştir.

[Legendary]

Lise1-1.soru Çözümü:
A=100!(1/1+1/2+...+1/100)=100!(1/1+1/2+...+1/49+1/50-1/50-1/49-...-1/2-1/1) (mod 101) =0 (mod 101)
O halde 101|A bulunur.

[Legendary]

Lise1-3.soru Çözümü:
x(1+x)+y(1+y)=xy+2 denklemini tamsayılarda çözelim.
=x²+x+y²+y=xy+2 => x²+x(1-y)+(y²+y-2)=0
Şimdi x'e göre diskriminant alalım;
b²-4ac>=0 => (1-y)²-4(y²+y-2)=y²-2y+1-4y²-4y+8
=-3y²-6y+9>=0 => y²+2y-3>=0 => -3<=y<=1 olur.y'ye bu aralıkta değerleri verirsek;
y=-3 için x²+4x+4=0 => x=-2 olur.
y=-2 için x²+3x=0 => x=0 veya x=-3 olur.
y=-1 için x²+2x-2=0 => x reel sayı değildir.(Çözüm gelmez.)
y=0 için x²+x-2=0 => x=-2 veya x=1 olur.
y=1 için x²=0 => x=0 olur.

O halde (x,y) tam sayı çözümleri : (-3,-2),(-2,0),(-2,-3),(0,-2),(0,1),(1,0) olmak üzere 6 tanedir.

[Legendary]

Lise1-5.soru Çözümü:
a)Eşitsizliğin tersini kabul edelim yani (x+z)y<=5 olsun.
(x+z)y=10-xz<=5 => 5<=xz<=yz 5<=yz olur.(1)
(x+z)y<=5 => xy+yz<=5 olur.(2)
(1) ve (2)'den xy<=0 bulunur.x<=y<=z olduğundan x,y,z sayıları 0'dan farklı olmak üzere
(x,y,z sayılarının 0'a eşit olamayacağı açıkça görülür.)
x negatif,y ve z ise pozitif reel sayılar bulunur.Fakat 5<=xz olduğu için çelişki bulunur. #
o halde (x+z)y>5 olur.
b)Önceki sorudan (x+z)>5 olduğunu biliyoruz. 5<(x+z)y<5,001 =>4,999<xz<5 aralığında xz+(x+z)y=10 eşitliğinin
ve x<=y<=z eşitsizliğinin sonsuz çoklukta x,y,z reel sayısı için sağlandığını göstermek yeterlidir.y sayısını
çekersek; y=(10-xz)/(x+z) olur.x<=(10-xz)/(x+z)<=z => x²+2xz<=10<=z²+2xz olur.
Bu durumda 0<x²<0,002 ve 9,998<2xz<10 olacak şekilde sonsuz sayıda x<=z reel sayıları bulunur. 

[ERhan ERdoğan]

çözüm4.

[ERhan ERdoğan]

çözüm3/2.

x(1+x)+y(1+y) = xy+2

x²+y²+x+y-xy=2

2x²+2y²+2x+2y-2xy=4

(x+1)²+(y+1)²+(x-y)² = 6   x ve y tamsayı olduğundan,
  1          1           4
  1          4           1
  4          1           1

|x+1|=1                  |y+1|=1                  |x-y|=2       ⇒   (x,y) = { (0,-2) , (-2,0) }
|x+1|=1                  |y+1|=2                  |x-y|=1       ⇒   (x,y) = { (-2,-3) , (0,1) }
|x+1|=2                  |y+1|=1                  |x-y|=1       ⇒   (x,y) = { (-3,-2) , (1,0) }
                     

[ERhan ERdoğan]

sn. Mustafa ÖZDEMİR 'den temin ettiğimiz orijinal dokümanlar ektedir. Katkısından dolayı kendisine de teşekkür ederim.