10 torba 10 top {çözüldü}

[Lokman Gökçe]

güzel bir soru:

10 torbanın her birinde 6 siyah, 4 beyaz top vardır. 1. torbadan çekilen bir top rengine bakılmadan 2. torbaya atılıyor. 2. torbadan çekilden bir top 3. torbaya atılıyor... vs. 9. torbadan çekilen bir top 10. torbaya atılıyor. 10 torbadan rastgele bir top çekildiğinde beyaz renk olma olasılığı nedir?

İpucu: torba sayısının artmasının cevabı değiştirmeyeceğini ispatlamaya çalışabilirsiniz. 1 torba için olasılık 2/5 tir. 2 ve 3 torba için de olasılığın 2/5 olduğunu görebilirsiniz.

[senior]

Torbalar içerisinde a tane siyah b tane beyaz top olsun. Diyelim ki şu an n.torbadayız ve n+1. torbadaki olasılığı bulmak istiyoruz.
T_n için olasılık p_n olsun.
O zaman p_n+1 = p_n(a+1)/(a+b+1) + (1-p_n)a/(a+b+1) = (p_n+a)/(a+b+1)
Eğer p_n = a/(a+b) ise yerine koyduğumuzda p_n+1 = ( a/(a+b) + a ) / (a+b+1) = a/(a+b) = p_n çıkar.
n = 1 için p₁ = a/(a+b) olduğundan, bütün n'ler için yine a/(a+b)'dir.

Böyle birşeyden haberim yoktu, iyi ki paylaştınız

[Lokman Gökçe]

Bana da dün akşam Tarsus'ta görev yapan bir hocamız tlf ile sormuştu. birkaç deneme ile olasılığın torba sayısından bağımsız olduğunu gördüm. İndiremeli dizi kullanarak p_n nin n den bağımsız bir sabit olduğunu ispatladım. Senin çözümden farklı değildi. sadece indirgeme bağıntısını bulmak için karakteristik denklem kullanmıştım. senin çözüm daha sade olmuş, eline sağık