AB + BC + AC = 8.DE {çözüldü}

[Beyşehirli]

 Çeşitkenar bir ABC üçgeninde ağırlık merkezi G ve iç teğet çemberin merkezi I olsun. İç teğet çembere teğet olup BC ye paralel olan ve BC den faklı olan doğru, üçgenin AB ve AC kenarlarını sırayla D ve E noktalarında kesiyor. Buna göre "AB + BC + AC = 8 . DE <=> GI diktir BC" olduğunu ispatlayınız.

[geo]

a,b,c kenarlar. r içyarıçap, DE = x ve h BC'ye yani a'ya ait yükseklik olsun.

Soruda sorulanlardan bağımsız olarak;
ADE ile ABC arasındaki benzerlikten
x/a = (h-2r)/h  (..1..)

ur = ah/2 => 2ur = ah  => (a+b+c) = ah/r => (a+b+c) = x*(h/(h-2r)) elde edilir. (..2..)


BC üzerinde M orta nokta, AN açıortay, T iççemberin değme noktası, ve AH yükseklik olsun.

BM = a/2
BN = ac/(b+c) => MN = ac/(b+c) - a/2
BT = (u-b) => MT = (c-b)/2
=> NT = MT-MN = (c-b)/2 - ( ac/(b+c) - a/2)    (...3...)

HC = (b²-c²+a²)/(2a) => MH = (c²-b²)/(2a)
NH = HM - MN = (c²-b²)/(2a) - (ac/(b+c) - a/2)  (..4..)

elde edilir.


AM ile IT de G de kesişsin.
NT/NH = IT/AH = r/h  
((c-b)/2 - ( ac/(b+c) - a/2) ) /  (c²-b²)/(2a) - (ac/(b+c) - a/2)  = r/h
a/(a+b+c) = r/h
(..5..)
[Sonradan fark ettim ki bunu aslında (..2..) de göstermişiz.]

ve
MG/AM = MT/MH = ((c-b)/2) / (c²-b²)/(2a)  = a/(b+c)

(..6..)



Soruya geri dönersek
a+b+c = 8x <=> Ağırlık merkezi ile içmerkezi birleştiren doğru diktir BC.
(..7..)  <=> (..8..)


a+b+c = 8x => (..1..)'den h = 4r çıkar. (..9..)
Bu değeri (..1..) de yerine yazarsak x = a/2 çıkar (..10..).  (..9..) ile (..10..)'nin birleşiminden
3a = b+c (..11..) çıkar.

(..7..) <=> (..9..) <=> (..11..)       (..12..)


(..8..) deki ifadeye göre G ağrılık merkezidir.
GM/AM = 1/3
(..6..)'dan a/(b+c) = 1/3 => 3a = (b+c).

(..8..) <=> (..11..)       (..13..)

elde edilir. (..12..) ile (..13..)'nin birleşiminden

(..7..) <=> (..9..) <=> (..11..)   <=> (..8..)

Yani (..7..) <=> (..8..) elde edilir.

[Beyşehirli]

Teşekkür ediyorum. Ben daha uzun bi yoldan çözmüştüm sizinki daha kısa...