fonksiyon - 1996 AHSME {çözüldü}

[Lokman Gökçe]

SORU: f fonksiyonu tamsayılar kümesinde tanımlı ve

          n+3, n tek ise
f(n) =
          n/2, n çift ise

olarak parçalı şekilde veriliyor. f(f(f(k))) = 27 ise k nın en büyük değeri kaçtır?

[proble_m]

f(f(k))=A olsun.
f(A)=27 koşulu için A tek ise A +3 =27 ==> A = 24 çift (çelişki)
                              A çift ise A/2=27 ==> A = 54 olur.

f(k)=B olsun.
f(B)= 54 koşulu için B tek ise B + 3 = 54 ==> B = 51
                               B çift ise B / 2 = 54 ==> B = 108 olur.

O halde,
f(k) = 51 için; k tek ise k + 3 = 51 ==> k = 48 çift (çelişki)
                      k çift ise k / 2 = 51 ==> k = 102 olur.
f(k) = 108 için; k tek ise k + 3 = 108 ==> k = 105
                       k çift ise k / 2 = 108 ==> k = 216 olur.

k_max = 216 olur.

[Ferhat GÖLBOL]

Bu da ikinci çözüm olsun.
g(n)=(fofof)(n) fonksiyonunu mod 8'e göre inceleyelim.

           n/8         ;   n=0(mod8)
           (n+3)/4  ;   n=1 V n=5 (mod8)
g(n)=  (n+6)/4  ;   n=2 V n=6(mod6)
           (n+9)/2  ;   n=3 V n=7(mod8)
           (n+12)/4;   n=4(mod8)

g^-1(27)'nin en büyük değeri 8*27=216'dır. Olası diğer değerleri de 105(105 denk 1),102(102 denk 6),45(45 denk değil 3 veya 7) ve 96(96 denk değil 4)'dir.