5 ile bölünebilme {çözüldü}

[Lokman Gökçe]

güzel bir soru  

Rakamlarının çarpımı 5 ile bölünebilen dört basamaklı kaç doğal sayı vardır?

[senior]

ilk basamak 0 ve 5 olmasın -> geri kalan basamaklarda da 0 ve 5 olmasın. 8⁴ tane sayı var bölünemeyen. Toplam 4 bas. sayılar -> 9*10⁴
O zaman 5 ile bölünebilen 9*10⁴-8⁴
soru rakamlarının toplamı olabilir mi? 

[Lokman Gökçe]

başka bişey yok, çözümü bu kadar zaten

9.10³ - 8⁴

[senior]

Ben de rakamlarının toplamı durumu için sorayım, o zaman   

[Ferhat GÖLBOL]

soru: Rakamları toplamı 5 ile bölünebilen dört basamaklı kaç doğal sayı vardır?

Sayının ilk üç basamağını nasıl seçersek seçelim 4. basamağı bunlara göre iki farklı şekilde seçebiliriz.
İlk üç basamağın toplamı mod 5 'te 0 ise son basamak 0 veya 5 olabilir.
İlk üç basamağın toplamı mod 5 'te 1 ise son basamak 4 veya 9 olabilir.
İlk üç basamağın toplamı mod 5 'te 2 ise son basamak 3 veya 8 olabilir.
...

Bu durumda sayı 9*10*10*2 = 1800 farklı değer alabilir.

[senior]

Tebrikler ferhat, güzel çözüm. Şunu sorayım, neden 4 basamaklı sayıların sayısı/5 çıktığı hakkında bir fikrin var mı? =)

Aynı zamanda,
2 ile bölünebilen --> 9000/2
3 ile bölünebilen --> 9000/3
9 ile bölünebilen --> 9000/9

[Ferhat GÖLBOL]

Hocam, en son basamak 2 farklı değer alır derken 2'yi 10/5 'ten bulduk zaten.
  9*10*10*2 = 9*10*10*(10/5) = 9000/5
2 ile bölünme için ilk üç basamağı seçtiğimizde 4. basamak için 5 = 10/2 farklı değer seçebiliriz.
  9*10*10*(10/2) = 9000/2 olur.
3 ile bölünebilme için ise son üç basamağı önce seçer, sonra bu basamakların toplamına göre 1. basamağı 3 = 9/3 farklı şekilde seçebiliriz.
  (9/3)*10*10*10 = 9000/3 olur.
Benzer şekilde 9 ile bölünebilme için son üç basamağı seçtiğimizde 1. basamağı 1 = 9/9 farklı şekilde seçebiliriz.
  (9/9)*10*10*10 = 9000/9 olur.
10 ile bölünme için de ilk üç basamağı seçtikten sonra 4. basamağı 10/10 farklı yolla seçebiliriz.
  9*10*10*(10/10) = 9000/10 olur.

Genel olarak abcd 4 basamaklı sayısı için s = a+b+c+d ; k, 10 veya 9'u bölen pozitif bir tamsayı ve t, k'dan küçük bir doğal sayı olmak üzere
      s ≡ t (mod k) ifadesinin çözüm sayısı 9000/k çıkıyor.

[Lokman Gökçe]

biraz da ben modifiye edeyim soruyu 

Rakamlarının çarpımı 5 ile bölünebilen dört basamaklı tüm doğal sayıların toplamı kaçtır?

[Ferhat GÖLBOL]

Rakamları çarpımı 5 ile bölünmeyen 4 basamaklı sayılar 0 ve 5 rakamlarını içermediğinden {1,2,3,4,6,7,8,9} rakamlarından oluşur ve her rakam her basamakta toplam 8³ kere bulunur. Bu rakamların basamak değerlerini toplarsak;
   1000'ler basamağı için, 8³*40*1000      (40 = 1+2+3+4+6+7+8+9)
   100'ler basamağı için,   8³*40*100
   10'lar basamağı için,     8³*40*10
   1'ler basamağı için,       8³*40*1
                    Toplam = 8³*40*1111
Öte yandan 4 basamaklı doğal sayıların toplamı (1000+9999)/2*(9999-1000+1) = 10999*9000/2 olduğundan rakamları çarpımı 5 ile bölünebilen 4 basamaklı doğal sayıların toplamı
   10999*9000/2 - 8³*40*1111 bulunur.

[senior]

Tebrikler, Rakamları toplamı 3 ve 9 ile bölünebilen sayıların da toplamı için kısa bir yol var bu arada