iki olimpiyat calısma sorusu.

[neverpass]

1) Bir kenarının uzunluğu 1 birim olan eşkenar üçgenin iç bölgesinden alınan noktadan en az ikisinin arasındaki mesafenin 1/2 den az olduğunu kanıtlayın.

2) 7 den büyük her tam sayının, her biri 1 den büyük ve aralarında asal iki tam sayının toplamı şeklinde yazılabileceğini gösteriniz.


Çok acil yardıma ihtiyacın varsa 112 yı ara! olimpiyat sorusu sorabilen bır ınsan nasıl olurda forum kullanamaz hayret ediyorum

[Lokman Gökçe]

1) Bir kenarının uzunluğu 1 birim olan eşkenar üçgenin iç bölgesinden alınan noktadan en az ikisinin arasındaki mesafenin 1/2 den az olduğunu kanıtlayın.

İlk sorunun doğru şekli şöyle olacak: Bir kenarının uzunluğu 1 birim olan eşkenar üçgenin iç bölgesinden alınan 5 noktadan en az ikisinin arasındaki mesafenin 1/2 den az olduğunu kanıtlayın.

Çözüm: Eşkenar üçgenin kenar orta noktalarını birşeltirerek 4 küçük eşkenar üçgen oluşturalım. Güvercin yuvası prensibine göre noktalardan en az ikisi aynı küçük eşkenar üçgenin içine düşer. Dolayısıyla bu üçgen içindeki iki nokta arasındaki mesafe 1/2 ya da daha azdır.

[Ferhat GÖLBOL]

2.soru:

a) Sayı tek ise (2n+1) formundadır ki bu durumda n ile n+1 verilen koşulu sağlar.
b) Sayı çift ise;
     b-1) Sayı 4'ün katı ise 4n formundadır ve bu durumda (2n-1) ile (2n+1) ardışık iki tek doğal sayı olduğundan aralarında asaldır ve toplamları 4n'dir.
     b-2) Sayı 4'ün katı değilse (4n+2) formundadır ve bu durumda da (2n-1) ve (2n+3) verilen koşulu sağlar; çünkü a-b, obeb(a,b) 'nin tam katı olmak zorundadır.
           (2n+3)-(2n-1)=4  => obeb[(2n-1),(2n+3)] | (böler) 4  ve 2n-1 ile 2n+3 tek sayılar olduğundan
           obeb[(2n-1),(2n+3)] = 1  ve dolayısıyla 2n-1 ile 2n+3 aralarında asaldır.

[orhangokce]

Güzel çözüm;)