Verilen sayı aslında $(5+2\sqrt{6})^{1500}$'dür. Bu sayı da her zaman $a+b\sqrt{6}$ formatında olacaktır. Eşleniği olan $(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{3000}=(5-2\sqrt{6})^{1500}$ de $a-b\sqrt{6}$ olacaktır. Dolayısıyla, $$2a=(5+2\sqrt{6})^{1500}+(5-2\sqrt{6})^{1500}$$ bir tamsayıdır. $$0<5-2\sqrt{6}<\frac{1}{2}$$ olduğu rasyonel kısım bir tarafa, köklü kısım bir tarafa atılıp, her tarafın karesi alınarak kolayca gösterilebilir. Dolayısıyla, $$(5-2\sqrt{6})^{1500}<\frac{1}{2^{1500}}$$ olacaktır. Bu sayının $0.000\dots$ diye başladığı (en azından ilk birkaç basamağının $0$ olduğu) kolayca görülebilir. Dolayısıyla, $(5+2\sqrt{6})^{1500}$'un virgülden sonraki ilk basamağı $9$ olmalıdır ki toplamları bir tamsayı olsun.
Şimdi ise virgülden önceki ilk basamağa odaklanalım. Dediğimiz gibi $(5+2\sqrt{6})^{1500}=\dots c,99\dots$ formatında bir sayıdır. Bu durumda $2a$'nın birler basamağı da $c+1$ olacaktır ($c=9$ ise $2a$'nın birler basamağı $0$ olacaktır.) Bu yüzden $2a$ sayısının birler basamağına odaklanmak yeterlidir.
Binom açılımından $$2a=(5+2\sqrt{6})^{1500}+(5-2\sqrt{6})^{1500}=2\sum_{k=0}^{750}\dbinom{1500}{2k}5^{1500-2k}\cdot 24^k$$ olacaktır ($2\sqrt{6}$'nın tek kuvvetleri birbirini götürüyor.) $k=750$ dışındaki terimlerde $2$ ve $5$ çarpanları olduğundan birler basamağına katkısı yoktur. $k=750$'de gelen sayı ise $2\cdot 24^{750}\equiv 2\pmod{10}$ olduğundan $2a$'nın birler basamağı $2$'dir. Dolayısıyla, $$(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{3000}=(5+2\sqrt{6})^{1500}=\dots 1,99\dots$$ şeklinde olmalıdır ki aşırı küçük olan $(5-2\sqrt{6})^{1500}$ ile toplandığında birler basamağı $2$ olan bir tamsayı elde edilebilsin. Sonuç olarak $(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{3000}$'un virgülden önceki ve sonraki ilk rakamlar sırasıyla $1$ ve $9$'dur.
