Pi Mu Epsilon Journal-1968 ikizkenarlık kriteri {çözüldü}

[Lokman Gökçe]

(Pi Mu Epsilon Journal-1968): ABC üçgeninin AD kenarortayı üzerinden rasgele bir P noktası alınıyor. BP ve CP doğruları; üçgenin kenarlarını sırasıyla E, F noktalarnda kesiyor. İspatlayınız ki, AB = AC olması için gerek ve yeter şart BE = CF olmasıdır.

[gokhankececi]

...

[Lokman Gökçe]

çözüm 2:

AB = AC olursa, AD yüksekliğinin simetri ekseni olmasından dolayı BE = CF olur.

Tersine, BE = CF olsun. Bu halde, Ceva teoreminden (AF/FB).(BD/DC).(CE/EA) = 1 olup AF/FB = AE/EC bulunur. Thales teoremi gereğince, FE // BC ve FPE ~ CBP dir. Benzerlik ve orantı özelliklerinden, FP/PE = PC/PB = (FP + PC)/(PE + PB) = CF/BE = 1 dir.Buradan, FP = PE ve PC = PB olur. BPC ikizkenar üçgeninde PD kenarortay olduğundan aynı zamanda açıortay ve yüksekliktir. AD, BC'yi dik olarak ortaladığından AB = AC dir.