Mutlak Değer {Çözüldü}

[denizmavisi]

Olduğunu İspatlayınız....

[alpercay]

Her a,b reel sayısı için  |a + b| <= |a| + |b|  olduğunu  kanıtlayınız.

Kanıt. a.b >= 0 olsun. |a + b| = |a| + |b|  olacağı açıktır.Şimdi  a.b < 0  ve    b > 0 olduğunu  kabül edelim.(simetriden dolayı  b < 0 almak birşeyi değiştirmez.)
|b| = b  ve  |a| > a  ise   |a| + b > a +b  eşitsizliği  | |a| + |b| | > |a + b |  veya   |a| + |b|  > |a + b|  şeklinde yazılabilir.Bu da bizden istenendir.
   Daha genel olarak bu eşitsizik metrik uzaylarda "üçgen eşitsizliği" olarak şöyle ifade edilebilir:

                                                        d(x,y) <= d(x,z) + d(z,y)

Burada  d  bir metrik olup,  d(x,y)  ile çalışılan metrik uzaydaki  x  ve   y  noktaları  arasındaki   uzaklık simgelenir.Metrik uzaylar  hoş bir konu olup  Topolojiyi  daha iyi anlamamızı sağlarlar.

[denizmavisi]

Hocam buda karmaşık sayılardan.

[Lokman Gökçe]

İlker kardeşimin yolladığı ispatta Cauchy - Schwartz eşitsizliği kullanılmış. Bunu da söylemeden geçmeyelim.

http://www.mathresource.iitb.ac.in/linear%20algebra/example7.4/index.html linkinde applet ile görselleştirilerek bu eşitsizliğin kanıtı mevcuttur.

Ayrıca Rⁿ uzayındaki üçgen eşitsizliği, Minkowski Eşitsizliği adını almaktadır. Yine Minkowski eşitsizliğinin ispatı için de C - S eşitsizliğinden faydalanılmaktadır. Alper Çay hocamızın bununla ilgili MD'de çıkan bir yazısı pdf formatı olarak aşağıdadır.