Köşeleri doğru ve parabol üzerinde olan karenin maks alanı {Çözüldü}

[osmanekiz]

Bir karenin iki köşesi y = 2x - 17 doğrusu üzerinde diğer iki köşesi y = x² eğrisi üzerinde ise bu karenin alanı en az kaç olur?

[senior]

İki köşesi y = 2x - 17 doğrusu üzerinde ise, diğer iki köşesi bu doğruya paralel y = 2x + a doğrusu üzerinde olmalıdır. Şekilde bu örnek doğru kesik çizgilerle gösterilmiştir.
Bu iki doğru arasındaki uzaklık(iki paralel doğru arasındaki uzaklıktan) k = (a+17)/kök(5) 'tir(tabi a > -17). Bu doğrunun y = x² eğrisini kestiği noktalar arası uzaklık da k olmalıdır, çünkü şekil kare. O zaman y = x² yazdığımızda doğru denklemine, x² - 2x - a = 0 gibi bir denklem çıkar. Bu denklemin kökler farkı yani x₁ - x₂ k'yı oluşturan dik üçgenin x eksenindeki uzunluğudur. y eksenindeki uzunluğu bunun 2 katı olduğu için, k = (x₁ - x₂)*kök(5) olur. O da 2*kök(1+a)*kök(5) 'tir. Bu iki k'yı birbirine eşitlediğimizde a+17 = 10*kök(1+a) elde ederiz. İki tarafında karesini aldığımızda a² -66a +189 = 0 = (a-3)(a-63) olur. k'nn minimum olması için a = 3 olmalı. Yani k = 4kök(5)