Geomania.Org Forumları

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninde $A$ dan $[BC]$ kenarına inen dikme ayağı $D$ noktasıdır. $[AB]$ kenarının orta noktası $E$ olmak üzere, $s(\widehat{BAD})=20^\circ$ ve $|AE|=|CD|$ ise, $s(\widehat{BCE})$ kaçtır?

$ \textbf{a)}\ 50^\circ \qquad\textbf{b)}\ 45^\circ \qquad\textbf{c)}\ 40^\circ \qquad\textbf{d)}\ 35^\circ \qquad\textbf{e)}\ 30^\circ $

$\dfrac{n^3-24}{n+1}$ ifadesinin bir pozitif tam sayı olmasını sağlayan $n$ pozitif tam sayılarının toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 28 \qquad\textbf{b)}\ 35\qquad\textbf{c)}\ 42 \qquad\textbf{d)}\ 56 \qquad\textbf{e)}\ 62$

Bir tahtada $12$ sayısı yazılıdır. Her işlemde tahtadaki sayı silinip, yerine bu sayının rakamları çarpımının $24$ fazlası yazılıyor. $100$ işlem sonucunda tahtada yazılı olan sayı kaç olur?

$\textbf{a)}\ 12 \qquad\textbf{b)}\ 24 \qquad\textbf{c)}\ 32 \qquad\textbf{d)}\ 36 \qquad\textbf{e)}\ 42$

Her bir basamağındaki rakam $1$, $2$ veya $3$ olan ve $3$ ile tam bölünen kaç tane $10$ basamaklı pozitif tam sayı vardır?

$ \textbf{a)}\ 3\cdot 2^{10} \qquad\textbf{b)}\ 3\cdot 2^{11} \qquad\textbf{c)}\ 3^{9}- 2^9 \qquad\textbf{d)}\ 2\cdot 3^{9} \qquad\textbf{e)}\ 3^9 $

Bir $ABC$ üçgeninde $[BC]$ kenarı üzerinde bir $D$ noktası alınıyor. $BC$ doğrusuna paralel olan bir doğru $[AC]$ ve $[AB]$ kenarlarını sırasıyla $E$ ve $F$ noktalarında kesiyor. $Alan(BFD) = 1$, $Alan(DEF) = 2$ ve $Alan(DEC) = 3$ ise, $Alan(AFE)$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{3}{2} \qquad\textbf{c)}\ 2 \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{5}{2} \qquad\textbf{e)}\ 3 $

Pozitif tam bölen sayısı $15$ olan en küçük pozitif tam sayının rakamları toplamı kaçtır?

$ \textbf{a)}\ 6 \qquad\textbf{b)}\ 9 \qquad\textbf{c)}\ 11 \qquad\textbf{d)}\ 14 \qquad\textbf{e)}\ 15 $

Bir torbada her biri kırmızı, mavi ya da sarı renklerinden biriyle boyanmış $24$ top vardır. Her hamlede torbadan ya $1$ sarı top ya da $1$ kırmızı ve $1$ mavi top çekiliyor. $15$ hamle sonunda torbada sadece $2$ kırmızı top kaldığına göre başlangıçta bu torbada kaç sarı top vardır?

$\textbf{a)}\ 4 \qquad\textbf{b)}\ 5 \qquad\textbf{c)}\ 6 \qquad\textbf{d)}\ 7 \qquad\textbf{e)}\ 8 $

Tam sayılardan oluşan $n$ elemanlı her kümede toplamı veya farkı $17$ ile tam bölünen iki eleman bulunuyorsa, $n$ nin alabileceği en küçük değer nedir?

$ \textbf{a)}\ 9 \qquad\textbf{b)}\ 10 \qquad\textbf{c)}\ 11 \qquad\textbf{d)}\ 12 \qquad\textbf{e)}\ 13 $

$s(\widehat{ABC})=90^\circ$ olan bir $ABC$ üçgeninin $[AC]$ kenarı üzerinde bir $D$ noktası alınıyor. $\dfrac{|AB|}{|BC|}=\sqrt{3}$ ve $\dfrac{|BD|}{|AC|}=\dfrac{\sqrt{3}}4$ ise, $s(\widehat{BDC})$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 30^\circ \qquad\textbf{b)}\ 45^\circ \qquad\textbf{c)}\ 60^\circ \qquad\textbf{d)}\ 75^\circ \qquad\textbf{e)}\ 90^\circ $

$24$ fazlası $27$ ile, $27$ fazlası $24$ ile tam bölünebilen en küçük pozitif tam sayının rakamları toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 18 \qquad\textbf{b)}\ 16 \qquad\textbf{c)}\ 14 \qquad\textbf{d)}\ 12 \qquad\textbf{e)}\ 10 $

Bir masada bir siyah ve birkaç beyaz taş bulunmaktadır. Gram cinsinden siyah taşın ağırlığı, beyaz taşların ağırlıkları ortalamasından $36$, tüm taşların ağırlıkları ortalamasından ise $32$ fazla olduğuna göre, masada toplam kaç taş vardır?

$\textbf{a)}\ 9 \qquad\textbf{b)}\ 11 \qquad\textbf{c)}\ 13 \qquad\textbf{d)}\ 15 \qquad\textbf{e)}\ 17 $

Başlangıçta bir sayı doğrusu üzerindeki $0$ noktasında bulunan bir kurbağa her $k$ pozitif tam sayısı için $k$-inci adımda, bulunduğu noktanın sağına veya soluna doğru $k$ birim atlıyor. Bu kurbağa en az kaç adımda $100$ noktasına varabilir?

$\textbf{a)}\ 13 \qquad\textbf{b)}\ 14 \qquad\textbf{c)}\ 15 \qquad\textbf{d)}\ 16 \qquad\textbf{e)}\ 17 $

Dışbükey bir $ABCD$ dörtgeninde $s(\widehat{ABC})=45^\circ ,s(\widehat{ADC})=90^\circ, s(\widehat{BAC})=s(\widehat{CAD}), |BC|=2$ ve $|CA|=\sqrt{3}$ ise $|AD|$ kaçtır?


$\textbf{a)}\ \sqrt{\dfrac{3}{2}} \qquad\textbf{b)}\ \sqrt{2} \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{\sqrt{3}}{2} \qquad\textbf{d)}\ 1 \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{1}{2} $

Hem kendisi hem rakamları toplamı hem de rakamları çarpımı asal sayı olan bir pozitif tam sayıya $\textit{asil sayı}$ diyelim. Üç basamaklı en küçük asil sayı ile üç basamaklı en büyük asil sayının toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 424 \qquad\textbf{b)}\ 428 \qquad\textbf{c)}\ 512   \qquad\textbf{d)}\ 622 \qquad\textbf{e)}\ 626 $

Bir tabakta $14$ litre süt vardır. Bir kedi birinci dakikada tabaktaki sütün yarısını, ikinci dakikada tabakta kalan sütün $1/3$ ünü, üçüncü dakikada tabakta kalan sütün $1/4$ ünü, $\ldots$, $24$. dakikada tabakta kalan sütün $1/25$ ini içiyor. Tabakta kaç litre süt kalmıştır?

$\textbf{a)}\ \dfrac{1}{24} \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{1}{25} \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{5}{72}   \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{1}{48} \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri} $

$20$ takımın katıldığı bir voleybol turnuvasında her gün bir maç yapılıyor ve maçı kaybeden takım turnuvadan eleniyor (voleybol oyununda beraberlik yoktur). Turnuvada bir tek takım kalana dek devam edilirse, tam olarak iki maç kazanan takım sayısı en fazla kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 6 \qquad\textbf{b)}\ 8 \qquad\textbf{c)}\ 9   \qquad\textbf{d)}\ 10 \qquad\textbf{e)}\ 11 $

Bir $ABCD$ dikdörtgeninde $|AB|=3, |BC|=2$ dir. Yarıçap uzunlukları $2$ olan $A$ merkezli $C_1$ ve $B$ merkezli $C_2$ çemberleri çiziliyor.  Hem $C_1$ çemberi hem $C_2$ çemberi  hem de $ABCD$ dikdörtgeninin içinde kalan bölgenin alanı $X$ olsun. $ABCD$ dikdörtgeninin içinde kalıp  hem $C_1$ çemberinin hem de $C_2$ çemberinin dışında kalan bölgenin alanı $Y$ olsun. Buna göre $X-Y$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ \pi-2 \qquad\textbf{b)}\ \pi-3 \qquad\textbf{c)}\ 2\pi-5   \qquad\textbf{d)}\ 2\pi-6 \qquad\textbf{e)}\ 3\pi-8 $

$x$ ve $y$ pozitif tam sayılar ve $x^{2}y^{2}-80=2xy$ olmak üzere, $x+y$ nin alabileceği faklı değerler toplamı kaçtır?


$\textbf{a)}\ 18 \qquad\textbf{b)}\ 20 \qquad\textbf{c)}\ 22   \qquad\textbf{d)}\ 24 \qquad\textbf{e)}\ 26 $

Bir tahtada soldan sağa doğru $10,a,b,c,d,e,16$ gerçel sayıları yazılıdır. $a, b, c, d, e$ sayılarının her biri tahtada hemen solunda ve hemen sağında yer alan iki sayının ortalamasından $1$ eksiktir. Buna göre $c$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 4 \qquad\textbf{b)}\ 5 \qquad\textbf{c)}\ 6  \qquad\textbf{d)}\ 7 \qquad\textbf{e)}\ 8 $

Dengede bulunan iki kefeli bir tartının sol kefesinde birkaç kırmızı, sağ kefesinde ise bir beyaz ve birkaç kırmızı taş bulunuyor. Sağ kefedeki taş sayısı sol kefedeki taş sayısından iki fazladır. Her bir kırmızı taşın ağırlığı $8, 29$ veya $57$ gram olduğuna göre, beyaz taşın ağırlığı en az kaç gram olabilir?

$\textbf{a)}\ 14 \qquad\textbf{b)}\ 12 \qquad\textbf{c)}\ 10  \qquad\textbf{d)}\ 8 \qquad\textbf{e)}\ 6 $

Bir $ABC$ üçgeninde $|AB|=11$ ve $|BC|=17$ dir. $[BC]$ kenarı üzerinde bir $D$ noktası $|DC|=3$ olacak biçimde alınıyor. $[AC]$ kenarının orta noktası $E$ olmak üzere, $s(\widehat{BDE})=56^\circ$ ise $s(\widehat{ABC})$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 56^\circ \qquad\textbf{b)}\  60^\circ \qquad\textbf{c)}\  64^\circ \qquad\textbf{d)}\  68^\circ \qquad\textbf{e)}\  72^\circ $

$a, b$ ve $c$ iki basamaklı pozitif tam sayılar olmak üzere, $\text{obeb}(a,b)=2, \text{obeb}(b,c)=7$ ve $\text{obeb}(a,c)=11$ ise, $a+b+c$ toplamının alabileceği en büyük değer nedir?

$\textbf{a)}\ 228 \qquad\textbf{b)}\ 233 \qquad\textbf{c)}\ 240 \qquad\textbf{d)}\ 252 \qquad\textbf{e)}\ 263 $

$x$ bir gerçel sayı olmak üzere, $2^{x+2}-15 \cdot 2^{-x}=4$ ise $2^{x+1}$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 4 \qquad\textbf{b)}\ 5 \qquad\textbf{c)}\ 6 \qquad\textbf{d)}\  7 \qquad\textbf{e)}\  8 $

Başlangıçta bir tahtada $1, 2, \ldots,1000$ sayıları yazılıdır. Aslı ve Zehra sırayla hamleler yaparak bir oyun oynuyorlar. Oyuna ilk Aslı başlıyor ve sırası gelen oyuncu tahtada bulunan sayılardan ikisini siliyor. Tahtada iki sayı kaldığında oyun bitiyor ve Aslı bu kalan iki sayının farkı kadar puan alıyor. Buna göre, Aslı en fazla kaç puan almayı garantileyebilir?

$\textbf{a)}\ 334 \qquad\textbf{b)}\ 470 \qquad\textbf{c)}\ 501 \qquad\textbf{d)}\  575 \qquad\textbf{e)}\ 601 $

$C_1$ ve $C_2$ çemberleri $A$ ve $B$ noktalarında kesişiyor. Bir $\ell$ doğrusu $C_1$ çemberini $C$ ve $F, C_2$ çemberini $D$ ve $G, [AB]$ doğru parçasını da $E$ noktasında kesiyor. Bu noktalar $\ell$ doğrusu üzerinde $C, D, E, F, G$ sırasıyla yer alıyor. $|CD| = 8, |D| = 4$ ve $|FG| = 6$ ise, $|EF|$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 2 \qquad\textbf{b)}\ 3 \qquad\textbf{c)}\ 4 \qquad\textbf{d)}\  5 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri} $

$3, 5, 8$ ve $13$ sayılarından kaç tanesi en az bir $n$ pozitif tam sayısı için $3^n+5^n+7^n+11^n$ toplamını tam böler?

$\textbf{a)}\ 0 \qquad\textbf{b)}\ 1 \qquad\textbf{c)}\ 2 \qquad\textbf{d)}\  3 \qquad\textbf{e)}\ 4 $

Ahmet ve Burak aynı anda düz bir yolda sabit hızlarla yürümeye başlıyorlar. Ahmet dakikada $a$ birim yol alırken Burak dakikada $a + 1$ birim yol alıyor. Burak'ın $10$ birim yol katettiği andan iki dakika sonra Ahmet $9$ birim yol katetmiş oluyor. Buna göre $a$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac{1}{3} \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{1}{2} \qquad\textbf{c)}\ 1 \qquad\textbf{d)}\  \dfrac{3}{2} \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{5}{2} $

Başlangıçta hiçbir birim karesi boyalı olmayan $8\times 8$ bir tahtanın her birim karesi kırmızı veya maviye, tahtanın birim karelerinden oluşan her $2\times 2$ karede çift sayıda kırmızı birim kare bulunacak biçimde kaç farklı şekilde boyanabilir?

$\textbf{a)}\ 32768 \qquad\textbf{b)}\ 40672 \qquad\textbf{c)}\ 46464 \qquad\textbf{d)}\  65536 \qquad\textbf{e)}\ 73728 $

Dışbükey bir $ABCD$ dörtgeninde $AC$ köşegeni $\widehat{DAB}$ ve $\widehat{BCD}$ açılarının iç açıortayıdır. $\widehat{ABC}$ ve $\widehat{CDA}$ açılarının iç açıortayları arasındaki dar açı $40^\circ$ ise, $\widehat{ABC}$ açısının iç açıortayı ile $AC$ köşegeni arasındaki dar açı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 50^\circ \qquad\textbf{b)}\ 55^\circ \qquad\textbf{c)}\ 60^\circ \qquad\textbf{d)}\  65^\circ \qquad\textbf{e)}\ 70^\circ $

Rakamlarının yeniden sıralanması sonucu bir tam kare elde edilebilen bir pozitif tam sayıya $\textit{karesel sayı}$ diyelim.Örneğin, $7416$ sayısının rakamları yeniden sıralanarak $1764 = 42^2$ sayısı elde edilebildiğinden $7416$ bir karesel sayıdır. $2345, 3456, 5678$ ve $6731$ dört basamaklı pozitif tam sayılarından kaç tanesi karesel sayıdır?

$\textbf{a)}\ 0 \qquad\textbf{b)}\ 1 \qquad\textbf{c)}\ 2 \qquad\textbf{d)}\  3 \qquad\textbf{e)}\ 4 $

$a_1(a_{1}-4) +a_2(a_{2}-4) + \cdots + a_{24}(a_{24}-4) = -95$ eşitliğini sağlayan kaç farklı $(a_1, a_2, \ldots, a_{24})$ tam sayı $24$-lüsü vardır?

$\textbf{a)}\ 24 \qquad\textbf{b)}\ 36 \qquad\textbf{c)}\ 48 \qquad\textbf{d)}\ 60 \qquad\textbf{e)}\ 72 $

$12\times 12$ bir tahtanın $k$ birim karesine herhangi ikisi birbirinden farklı olan birer tam sayı yazılmıştır. Ortak bir kenara veya köşeye sahip iki birim kare $\textit{komşu}$ kabul ediliyor. Tahtada yazılı olan her bir sayı, bulunduğu kareyle komşu olan birim karelerdeki sayıların en fazla birinden küçükse, $k$ nin alabileceği en büyük değer nedir?

$\textbf{a)}\ 64 \qquad\textbf{b)}\ 72 \qquad\textbf{c)}\ 84 \qquad\textbf{d)}\ 90 \qquad\textbf{e)}\ 108 $