Tübitak Lise 1. Aşama - 1998
« 1997 1999 »
Çözümlere Git »
Geri

Tübitak Lise 1. Aşama - 1998

1
Kenar uzunlukları $|BC|=a$, $|CA|=b$, $|AB|=c$ olan bir $ABC$ üçgeninde $3m(\widehat{A})+m(\widehat{B}) = 180^\circ$ ve $3a = 2c$ ise, $b$ nin $a$ cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisidir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac {3a}{2}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac {5a}{4}
\qquad\textbf{c)}\ a\sqrt 2
\qquad\textbf{d)}\ a\sqrt 3
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac {2a\sqrt 3}{3}
$
2
$2^{1998}$ sayısının ondalık yazılımı ile $5^{1998}$ sayısının ondalık yazılımını art arda yazarsak, oluşan yeni sayı kaç basamaklı olur?

$
\textbf{a)}\ 1998
\qquad\textbf{b)}\ 1999
\qquad\textbf{c)}\ 2000
\qquad\textbf{d)}\ 3996
\qquad\textbf{e)}\ 3998
$
3
$6$ elemanlı bir küme hiçbiri boş olmayan üç ayrık alt kümeye kaç değişik biçimde ayrılabilir?

$
\textbf{a)}\ 90
\qquad\textbf{b)}\ 105
\qquad\textbf{c)}\ 120
\qquad\textbf{d)}\ 180
\qquad\textbf{e)}\ 243
$
4
$x,y,z$ gerçel sayılar olmak üzere, $2x^2+5y^2+10z^2-2xy-4yz-6zx+3$ ifadesinin alabileceği en küçük değer aşağıdakilerden hangisidir?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ -3
\qquad\textbf{d)}\ 1
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$
5
Köşegenlerinin kesişim noktası $E$ ile gösterilmek üzere, bir $ABCD$ kirişler dörtgeninde $m(\widehat{B})=m(\widehat{D})$,  $ m(\widehat{BCD})= 150^\circ$,  $|BE|=x$, $|ED|=y$ ve $|AC|=z$ ise, $y$ nin $x$ ve $z$ cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisidir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac {z-x}{\sqrt 3}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac {z-2x}{3}
\qquad\textbf{c)}\ {z+x}{\sqrt 3}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac {z-2x}{2}
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac {2z-3x}{2}
$
6
$x^3-5x^2-22x+56 \equiv 0 \pmod p$ denkliğinin kaç $p$ asal sayısı için $0\leq x \leq p$ olmak üzere üç farklı tam sayı kökü yoktur?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$
7
Alınan herhangi $n$ küme arasında birbirini içermeyen en az $3$ tane veya herhangi ikisinden biri diğerini içeren en az $3$ tane küme bulunmasını garanti eden en küçük $n$ tam sayısı nedir?

$
\textbf{a)}\ 4
\qquad\textbf{b)}\ 5
\qquad\textbf{c)}\ 6
\qquad\textbf{d)}\ 7
\qquad\textbf{e)}\ 8
$
8
$(a_n)$ dizisi, $a_1 = 1$ ve $n \geq 1$ için $a_{n+1}=\dfrac{a_n}{\sqrt {1+4a_n^2}}$ şeklinde tanımlanıyor. $a_k < 10^{-2}$ eşitsizliğini gerçekleyen en küçük $k$ değeri nedir?

$
\textbf{a)}\ 2501
\qquad\textbf{b)}\ 251
\qquad\textbf{c)}\ 2499
\qquad\textbf{d)}\ 249
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$
9
Birbirine dıştan teğet olan $[AB]$ ve $[BC]$ çaplı iki çemberin merkezleri, sırasıyla $D$ ve $E$ ile; $A$ noktasından $E$ merkezli çembere ve $C$ noktasından $D$ merkezli çembere ($AC$ doğrusuna göre aynı tarafta kalacak şekilde) çizilen teğetlerin kesişim noktası $F$ ile gösterilmek üzere, $|DB|=|BE|=\sqrt 2$ ise, $AFC$ üçgeninin alanı aşağıdakilerden hangisidir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac {7\sqrt 3}{2}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac {9\sqrt 2}{2}
\qquad\textbf{c)}\ 4\sqrt 2
\qquad\textbf{d)}\ 2\sqrt 3
\qquad\textbf{e)}\ 2\sqrt 2
$
10
$p$ ve $q$ tek sayıları asal sayılar dizisinin ardışık iki terimi olsun. $p+q$ sayısının farklı pozitif bölenlerinin sayısı en az kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 2
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ 5
\qquad\textbf{e)}\ 6
$
11
Bir kübün yüzlerine $1,2,3,4,5,6$ sayılarını işaretleyerek bir zar yapmak istiyoruz. Ortak bir ayrıta sahip iki yüze komşu yüzler dersek, ardışık sayıların komşu yüzler üstünde yer alması koşuluyla, bu zarı kaç değişik biçimde yapabiliriz?

$
\textbf{a)}\ 10
\qquad\textbf{b)}\ 14
\qquad\textbf{c)}\ 18
\qquad\textbf{d)}\ 56
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$
12
Bir dik üçgende hipotenüsün uzunluğunun çevreye oranının alabileceği tüm değerler gerçel sayılar ekseninde bir aralık oluşturur. Bu aralığın orta noktası nedir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac {2\sqrt2 + 1}4
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{\sqrt 2 + 1}{2}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{2\sqrt2 -1}4
\qquad\textbf{d)}\ \sqrt 2 - 1
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac{\sqrt 2 - 1}{2}
$
13
Yüksekliklerinin kesişim noktası $H$ olmak üzere, bir $ABC$ üçgeninde $m(\widehat{B})=m(\widehat{C})=\alpha$ ve $A,H,C$ noktalarından geçen çemberin merkezi $O$ ise, $HOC$ açısının $\alpha$ cinsinden ölçüsü nedir?

$
\textbf{a)}\ 90^\circ - \alpha
\qquad\textbf{b)}\ 90^\circ + \dfrac {\alpha}2
\qquad\textbf{c)}\ 180^\circ - \alpha
\qquad\textbf{d)}\ 180^\circ - \dfrac{\alpha}2
\qquad\textbf{e)}\ 180^\circ - 2\alpha
$
14
$x^4+2x^3+3x^2-x+1 \equiv 0 \pmod {30}$ denkliğinin $0\leq x < 30$ olacak şekilde kaç farklı tam sayı çözümü vardır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ 4
$
15
$12$ evli çift yuvarlak bir masanın etrafında, erkeklerin hepsi masanın bir tarafında yan yana, her kadın da eşinin tam karşısında olacak şekilde oturmaktadır. Masada oturanlar, her seferinde yan yana oturan bir kadınla bir erkeğin yer değiştirmesi suretiyle, tüm eşler yan yana gelinceye kadar yer değiştirir. Bunun için en az kaç yer değiştirme işlemi yapılmıştır?

$
\textbf{a)}\ 36
\qquad\textbf{b)}\ 55
\qquad\textbf{c)}\ 60
\qquad\textbf{d)}\ 66
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$
16
$x,y,z$ sayıları
$$
\begin{array}{rcl}
x^2+y^2+z &=& 15 \\
x+y+z^2 &=& 27 \\
xy+yz+zx &=& 7
\end{array}
$$
denklemlerini sağlıyorsa, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

$
\textbf{a)}\ 3 \leq |x+y+z| \leq 4 \\
\textbf{b)}\ 5 \leq |x+y+z| \leq 6 \\
\textbf{c)}\ 7 \leq |x+y+z| \leq 8 \\
\textbf{d)}\ 9 \leq |x+y+z| \leq 10 \\
\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$
17
Bir $ABC$ üçgeninde $A$ açısının iç açıortayı ile $[BC]$ nın kesişim noktası $D$; $[CB$ ışını üzerinde $|DE|=|DB|+|BE|$ özelliğinde bir nokta $E$; $A$, $D$, $E$ noktalarından geçen çemberin $AB$ doğrusunu ikinci kez kestiği nokta $F$ ile gösterilmek üzere, $|BE|=|AC|=7$, $|AD|=2\sqrt 7$ ve $|AB|=5$ ise, $|BF|$ nedir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{7\sqrt 5}5
\qquad\textbf{b)}\ \sqrt 7
\qquad\textbf{c)}\ 2\sqrt 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ \sqrt {10}
$
18
$p_1<p_2<\dots<p_{24}$, $[3, 100]$ aralığındaki asal sayıları göstermek üzere,
$$ \displaystyle\sum_{i=1}^{24} p_i^{99!} \equiv a \pmod {100}$$
denkliğini gerçekleyen en küçük $a\geq 0$ sayısı nedir?

$
\textbf{a)}\ 24
\qquad\textbf{b)}\ 25
\qquad\textbf{c)}\ 48
\qquad\textbf{d)}\ 50
\qquad\textbf{e)}\ 99
$
19
Bir torbada $3$ ü mavi $22$ si siyah toplam $25$ top vardır. Ahmet, $1$ ve $25$ arasında bir $n$ tam sayısı seçer. Betül, torbadan birer birer ve geriye koymaksızın rastgele $n$ tane top çeker. Çekilen $n$ toptan tam olarak ikisi maviyse ve bunlardan ikincisi $n$ inci sırada çekilmişse Ahmet, aksi halde ise, Betül oyunu kazanır. Oyunu kazanma olasılığını mümkün olduğu kadar yükseltebilmek için, Ahmet hangi $n$ sayısını seçmelidir?

$
\textbf{a)}\ 2
\qquad\textbf{b)}\ 11
\qquad\textbf{c)}\ 12
\qquad\textbf{d)}\ 13
\qquad\textbf{e)}\ 23
$
20
$x^33^{1/x^3} + \dfrac{1}{x^3}3^{x^3} = 6$ denkleminin kaç farklı gerçel çözümü vardır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ \text{Sonsuz çoklukta}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$
21
$ABC$ dar açılı bir üçgen, $D$ ve $E$ sırasıyla $[AC]$ ve $[AB]$ üzerinde $m(\widehat{ADB})=m(\widehat{AEC})=90^\circ$ koşulunu sağlayan noktalar; $AED$ üçgeninin çevresi $9$ ve çevrel çemberinin yarıçapı $\frac 95$ olmak üzere, $ABC$ üçgeninin çevresi $15$ ise, $|BC|$ aşağıdakilerden hangisidir?

$
\textbf{a)}\ 5
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{24}{5}
\qquad\textbf{c)}\ 6
\qquad\textbf{d)}\ 8
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac{48}{5}
$
22
$(x_1x_2\dots x_{1998})$, ondalık sistemde $1998$ basamaklı bir sayının gösterimi olmak üzere, $(x_1x_2\dots x_{1998}) = 7 \cdot 10^{1996} (x_1+x_2+\dots + x_{1998})$ denklemini sağlayan kaç $(x_1x_2\dots x_{1998})$ sayısı vardır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ 4
$
23
$n \times n$ ($n \geq 7$) satranç tahtasında oynanan iki kişilik bir oyunda Ahmet'in bir, Betül'ün ise iki taşı vardır. İlk olarak Ahmet taşını $n^2$ kareden birine yerleştirir. Sonra Betül, tahtanın kenarındaki karelerden boş olan ikisine taşlarını yerleştirir. Taşlar yerleştirildikten sonra Ahmet ile başlayarak sıra ile hamle yaparlar. Ortak bir kenara sahip iki kenara komşu kareler diyelim. Ahmet, hamle sırası kendine geldiğinde taşını bulunduğu kareden ya boş olan bir komşu kareye sürer ya da tahtanın kenarındaki karelerden birinde bulunuyorsa tahtanın dışına çıkarır. Betül ise, her iki taşını da bulundukları karelerden komşu karelere sürer. Betül'ün taşlarını sürdüğü karelerden birinde Ahmet'in taşı varsa Betül Ahmet'in taşını yer ve oyunu kazanır. Taşını, yenmeden tahtanın dışına çıkartabildiği takdirde ise, oyunu Ahmet kazanır. Ahmet'in oyunu kazanmasını garanti etmek için taşını ilk başta yerleştirebileceği karelerin sayısı nedir?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ n^2
\qquad\textbf{c)}\ (n-2)^2
\qquad\textbf{d)}\ 4(n-1)
\qquad\textbf{e)}\ 2n-1
$
24
$x^6-2x^4+x^2=A$ denkleminin farklı gerçel çözümlerinin sayısını $n(A)$ ile gösterelim. $A$ tüm gerçel değerleri aldığında $n(A)$ nın alacağı değerlerin kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

$
\textbf{a)}\ \{0,1,2,3,4,5,6\}
\qquad\textbf{b)}\ \{0,2,4,6\}
\qquad\textbf{c)}\ \{0,3,4,6\}
\qquad\textbf{d)}\ \{0,2,3,4,6\}
\qquad\textbf{e)}\ \{0,2,3,4\}
$
25
$ABC$ bir üçgen; $|BC| > |BA|$ ve $D$ bu üçgenin iç bölgesinde $m(\widehat{ABD})=m(\widehat{DBC})$ koşulunu sağlayan bir nokta olmak üzere, $m(\widehat{BDC})=150^\circ$ ve $m(\widehat{DAC})=60^\circ$ ise $m(\widehat{BAD})$ kaç derecedir?

$
\textbf{a)}\ 45
\qquad\textbf{b)}\ 50
\qquad\textbf{c)}\ 60
\qquad\textbf{d)}\ 75
\qquad\textbf{e)}\ 80
$
26
$\sqrt { x + 1998 + \sqrt { x + 1998 + \sqrt { x + 1997 + \sqrt{ x+ 1997 + \dots + \sqrt{ x + 1 + \sqrt{ x+1+\sqrt{x + \sqrt x} }} }}} } = y$ denklemini sağlayan kaç $(x,y)$ sıralı tam sayı ikilisi vardır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 1998
\qquad\textbf{d)}\ 3996
\qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz çoklukta}
$
27
$\square$ birim kareyi göstermek üzere, istenilen sayıda ve en çok bir tane $\square$ kullanarak aşağıdaki $n$ tam sayılarından hangisi için $n \times n$ lik bir satranç tahtası kaplanamaz?

$
\textbf{a)}\ 96
\qquad\textbf{b)}\ 97
\qquad\textbf{c)}\ 98
\qquad\textbf{d)}\ 99
\qquad\textbf{e)}\ 100
$
28
$\sqrt{x + 4\sqrt{x-4}} - \sqrt{x+2\sqrt{x-1}} = 1$ denkleminin farklı gerçel çözümlerinin sayısı nedir?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ 4
$
29
$ABCD$ bir dışbükey dörtgen, $m(\widehat{C})=m(\widehat{D})=90^\circ$, $CD$ doğrusuna $C$ noktasında teğet olan ve $A$, $B$ noktalarıdan geçen çember ile $[AD]$ nın kesişim noktası $E$ olmak üzere, $|BC|=20$ ve $|AD|=16$ ise, $|CE|$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 9
\qquad\textbf{b)}\ 6\sqrt 2
\qquad\textbf{c)}\ 4 \sqrt 5
\qquad\textbf{d)}\ 7 \sqrt 2
\qquad\textbf{e)}\ 10
$
30
$m=(abab)$ ve $n=(cdcd)$ ondalık sistemde dört basamaklı sistemde dört basamaklı iki tam sayının gösterimi olsun. $m+n$ sayısının tam kare olmasını sağlayan $(m,n)$ çiftleri için, $a\cdot b \cdot c \cdot d$ çarpımı en çok kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 392
\qquad\textbf{b)}\ 420
\qquad\textbf{c)}\ 588
\qquad\textbf{d)}\ 600
\qquad\textbf{e)}\ 750
$
31
$m$ sütun ve $n$ satırı olan bir satranç tahtasında iki kişilik bir oyun oynanıyor. Her iki oyuncunun da birer taşı olup, başlangıçta birinci oyuncunun taşı tahtanın sol üst köşesindeki, ikinci oyuncununki ise, tahtanın sağ alt köşesindeki karedir. Ortak bir kenara sahip iki kare komşu sayılmak üzere, hamle sırası gelen oyuncu, taşını bulunduğu karenin komşularından birine sürer. Sürdüğü karede diğer oyuncunun taşı varsa, onu yiyerek oyun dışı bırakır. Oyunu, diğer oyuncunun taşını yiyen veya taşını, diğer oyuncunun taşının başlangıçta bulunduğu sıraya önce ulaştıran oyuncu kazanır. İlk hamleyi birinci oyuncu yaparsa, aşağıdaki $(m, n)$ sıralı ikililerinden hangisi için ikinci oyuncunun oyunu kazanmasını garanti eden bir strateji vardır?

$
\textbf{a)}\ (1998, 1997)
\qquad\textbf{b)}\ (1998, 1998)
\qquad\textbf{c)}\ (997, 1998)
\qquad\textbf{d)}\ (998, 1998)
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$
32
$f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}$ fonksiyonu her $x, y \in \mathbb{R}^+$ için $f(x)+f(y)=f(x)f(y)+1-\dfrac{1}{xy}$ koşulunu sağlıyor ve $f(2)<1$ ise, $f(3)$ değeri nedir?

$
\begin{array}{ll}
\textbf{a)} \ & 2/3 \\
\textbf{b)}\ & 4/3 \\
\textbf{c)}\ & 1 \\
\textbf{d)}\ & \text{Verilenlerden tek bir } f(3)  \text{ değeri belirlenemez.} \\
\textbf{e)}\ & \text{Verilen koşulları sağlayan bir } f  \text{ fonksiyonu yoktur.}
\end{array}
$
33
$[BC]$ çaplı bir çemberin bu çapına dik olan bir kirişi $[AD]$, $AC$ ve $CD$ yaylarının orta noktaları sırasıyla $E$ ve $F$, $AD \cap BE = \{G\}$, $AF\cap BC = \{H\}$ olmak üzere, $m(AC)=\alpha$ ise, $BHG$ açısının $\alpha$ cinsinden ölçüsü aşağıdakilerden hangisidir?

$
\textbf{a)}\ 90^\circ - \dfrac {\alpha}2
\qquad\textbf{b)}\ 60^\circ - \dfrac {\alpha}3
\qquad\textbf{c)}\ \alpha - 30^\circ
\qquad\textbf{d)}\ 15^\circ + \dfrac{\alpha}2
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac{180^\circ - 2\alpha}3
$
34
$a,b,c,d$ rasyonel sayılar ve $a>0$ olmak üzere, $an^3 + bn^2+cn+d$ sayısı her $n\geq 0$ tam sayısı için bir tam sayı oluyorsa, $a$ nın alabileceği en küçük değer nedir?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac 12
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac 16
\qquad\textbf{d)}\ \text{Böyle bir en küçük değer yoktur.}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$
35
$10$ elemanlı bir kümenin, hiçbiri bir diğerinin altkümesi olmayacak şekilde en çok kaç altkümesi bulunur?

$
\textbf{a)}\ 126
\qquad\textbf{b)}\ 210
\qquad\textbf{c)}\ 252
\qquad\textbf{d)}\ 420
\qquad\textbf{e)}\ 1024
$
36
Kenar uzunluğu $4$ olan bir $ABCD$ karesinde $E$, $[AB]$ kenarının orta noktasıdır. $M$ noktası $[AC]$ üzerinde olmak üzere, $|EM|+|MB|$ toplamını tam sayı yapan kaç farklı $M$ noktası vardır?

$
\textbf{a)}\ 2
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ 5
\qquad\textbf{e)}\ 6
$