$ABCD$ karesinin $[BC]$ kenarı üstünde bir $E$ noktası ve $[ED]$üstünde bir $F$ noktası için $|DF|=|BF|$ ve $|EF|=|BE|$ ise $m\left ( \widehat{DFA} \right )$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 45^\circ
\qquad\textbf{b)}\ 60^\circ
\qquad\textbf{c)}\ 75^\circ
\qquad\textbf{d)}\ 80^\circ
\qquad\textbf{e)}\ 85^\circ
$

$a^2+b^4=5^n$ eşitliğini sağlayan kaç $(a,b,n)$ pozitif tam sayı üçlüsü vardır?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz çoklukta}
$

$x=\sqrt[3]{11+\sqrt{337}}+\sqrt[3]{11-\sqrt{337}}$ olduğuna göre $x^3+18x$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 24
\qquad\textbf{b)}\ 22
\qquad\textbf{c)}\ 20
\qquad\textbf{d)}\ 11
\qquad\textbf{e)}\ 10
$

Biri $5$ diğeri $7$ ile bölünebilen iki bileşik pozitif tam sayının toplamı şeklinde yazılamayan en büyük tam sayı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 82
\qquad\textbf{b)}\ 47
\qquad\textbf{c)}\ 45
\qquad\textbf{d)}\ 42
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Bir dik üçgenin hipotenüse ait dış teğet çemberinin yarıçapı $30$ ise, bu üçgenin çevresinin uzunluğu kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 40
\qquad\textbf{b)}\ 45
\qquad\textbf{c)}\ 50
\qquad\textbf{d)}\ 60
\qquad\textbf{e)}\ 75
$

$a^2b+ab^2=2009201020092010$ eşitliğini sağlayan kaç $(a,b)$ tam sayı ikilisi vardır?

$
\textbf{a)}\ 4
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 1
\qquad\textbf{d)}\ 0
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$x^4+2x^3-8x^2-6x+15$ ve $x^3+4x^2-x-10$ polinomlarının ortak olmayan gerçel köklerinin çarpımı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ -4
\qquad\textbf{b)}\ 4
\qquad\textbf{c)}\ -6
\qquad\textbf{d)}\ 6
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$\left \{ 1,2,\dots ,n \right \}$ kümesi iki alt kümeye nasıl ayrılırsa ayrılsın, alt kümelerden en az birindeki iki farklı elemanın toplamı bir tam kare oluyorsa, $n$ en az kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 13
\qquad\textbf{b)}\ 14
\qquad\textbf{c)}\ 15
\qquad\textbf{d)}\ 16
\qquad\textbf{e)}\ 17
$

Dışbükey bir $ABCD$ dörtgeninin köşegenlerinin kesişim noktası $E$ olmak üzere, $AEB,BEC,CED$ ve $DEA$ üçgenlerinin çevre uzunlukları
birbirlerine eşittir. $AEB,BEC$ ve $CED$ üçgenlerinin iç teğet çemberlerinin yarıçapları sırasıyla, $3, 4$ ve $6$ ise, $DEA$ üçgeninin iç teğet çemberinin yarıçapı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{9}{2}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{7}{2}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{13}{3}
\qquad\textbf{d)}\ 5
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$n$ tam sayısının kaç farklı değeri için, $n^4+4n^3+3n^2-2n+7$ sayısı asaldır?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz çoklukta}
$

Her $n$ pozitif tam sayısı için $a_{n}\neq0$ ve $a_{n}a_{n+3}=a_{n+2}a_{n+5}$ koşullarını sağlayan bir $\left ( a_{n} \right )_{n=1}^{\infty } $ gerçel sayı dizisinde $a_{1}a_{2}+a_{3}a_{4}+a_{5}a_{6}=6$ ise, $a_{1}a_{2}+a_{3}a_{4}+ \cdots +a_{41}a_{42}$ toplamı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 21
\qquad\textbf{b)}\ 42
\qquad\textbf{c)}\ 63
\qquad\textbf{d)}\ 882
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Tam olarak yedi farklı rakamın kullanıldığı kaç tane sekiz basamaklı sayı vardır?

$
\textbf{a)}\ \dbinom{9}{3}^{2}\cdot 6!\cdot 3
\qquad\textbf{b)}\ \dbinom{8}{3}^{2}\cdot 7!
\qquad\textbf{c)}\ \dbinom{8}{3}^{2}\cdot 7!\cdot 3
\qquad\textbf{d)}\ \dbinom{7}{3}^{2}\cdot 7!
\qquad\textbf{e)}\ \dbinom{9}{4}^{2}\cdot 6!\cdot 8
$

$AB\parallel CD$ ve $m\left ( \widehat{CAB} \right )<90^{\circ}$ olan $ABCD$ yamuğunda, $|AB|=5 , |CD|=3$ ve $|AC|=15$ ise, $|BD|$ nin alabileceği farklı tam sayı değerlerin toplamı nedir? 

$
\textbf{a)}\ 101
\qquad\textbf{b)}\ 108
\qquad\textbf{c)}\ 111
\qquad\textbf{d)}\ 125
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Kaç $(m,n)$ pozitif tam sayı ikilisi için $2008\cdot2009\cdot2010$ sayısı $mn$ ile bölünür?


$
\textbf{a)}\ 2\cdot3^7\cdot5
\qquad\textbf{b)}\ 2^5\cdot3\cdot5
\qquad\textbf{c)}\ 2^5\cdot3^7\cdot5
\qquad\textbf{d)}\ 2^3\cdot3^5\cdot5^2
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$|x|+|y|=13$ eşitliğin sağlayan $(x,y)$ gerçel sayı ikilileri için, $x^2+7x-3y+y^2$ ifadesi aşağıdaki değerlerden hangisini alamaz?

$
\textbf{a)}\ 208
\qquad\textbf{b)}\ 15\sqrt{2}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{35}{2}
\qquad\textbf{d)}\ 37
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$x+19y \equiv 0 \pmod {23}$ ve $x+y<69$ koşullarını sağlayan kaç $(x,y)$ pozitif tam sayı ikilisi vardır?

$
\textbf{a)}\ 100
\qquad\textbf{b)}\ 102
\qquad\textbf{c)}\ 105
\qquad\textbf{d)}\ 109
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$ABC$ eşkenar üçgeninin iç bölgesindeki bir $D$ noktası, $|AD|=8 , |BD|=13$ ve $m\left ( \widehat{ADC} \right )=120^{\circ}$ koşullarını sağlıyorsa $|CD|$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 12
\qquad\textbf{b)}\ 13
\qquad\textbf{c)}\ 14
\qquad\textbf{d)}\ 15
\qquad\textbf{e)}\ 16
$

$1\leq n \leq455$  ve $n^3 \equiv 1 \pmod {455}$ koşullarını sağlayan kaç $n$ tam sayısı vardır?

$
\textbf{a)}\ 9
\qquad\textbf{b)}\ 6
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 1
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$a$ bir gerçel sayı; $x_{1}$ ve $x_{2}, x^2+ax+2=x$ denkleminin farklı iki kökü; $x_{3}$ ve $x_{4}$ de, $(x-a)^2+a(x-a)+2=x$ denkleminin farklı iki kökü olmak üzere, $x_{3}-x_{1}=3(x_{4}-x_{2})$ ise $x_{4}-x_{2}$ nedir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{a}{2}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{a}{3}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{2a}{3}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{3a}{2}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

İlk rakamı tek olup, çift rakam geçen basamaklarının sayısı çift olan beş basamaklı pozitif tam sayıların sayısı $A$ ve ilk rakamı çift olup çift rakam geçen basamaklarının sayısı çift olan beş basamaklı pozitif tam sayıların sayısı $B$ ise, $A - B$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 5000
\qquad\textbf{b)}\ 4640
\qquad\textbf{c)}\ 3200
\qquad\textbf{d)}\ 0
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$ABC$ üçgeninde $|AB|=|AC|$ ve $m\left ( \widehat{BAC} \right )=80^{\circ}$ dir. $ABC$ üçgeninin iç bölgesindeki bir $E$ noktası, $|AE|=|EC|$ ve $m\left ( \widehat{EAC} \right )=10^{\circ}$ koşullarını sağlıyorsa, $m\left ( \widehat{EBC} \right )$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 10^\circ
\qquad\textbf{b)}\ 15^\circ
\qquad\textbf{c)}\ 20^\circ
\qquad\textbf{d)}\ 25^\circ
\qquad\textbf{e)}\ 30^\circ
$

Her $n \geq 0$ için, $a_{n+1} = a_{n}^{3} + a_{n}^{2} $ koşulunu sağlayan bir  $(a_{n})_{n=0}^{\infty }$ tam sayı dizisinin terimlerinin $11$ e bölümünden kalanların oluşturduğu kümenin en çok kaç elemanı vardır?

$
\textbf{a)}\ 2
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ 5
\qquad\textbf{e)}\ 6
$

$x$ bir gerçel sayı olmak üzere, $x(x+4)(x+8)(x+12)$ ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?

$
\textbf{a)}\ -240
\qquad\textbf{b)}\ -252
\qquad\textbf{c)}\ -256
\qquad\textbf{d)}\ -260
\qquad\textbf{e)}\ -280
$

$xy-$ düzlemine, $m$  mavi ve $k$  kırmızı dikdörtgen, kenarları eksenlere paralel olacak, eksenlerden herhangi birine paralel olan hiçbir doğru aynı renkte birden fazla dikdörtgeni kesmeyecek ve farklı renkte hangi iki dikdörtgen alınırsa alınsın, yalnızca bunları kesen ve eksenlerden birine paralel olan bir doğru bulunacak biçimde yerleştirilmişse, $(m,k)$ tam sayı ikilisi aşağıdakilerden hangisi olamaz?

$
\textbf{a)}\ (1,7)
\qquad\textbf{b)}\ (2,6)
\qquad\textbf{c)}\ (3,4)
\qquad\textbf{d)}\ (3,3)
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$ABC$ üçgeninin iç teğet çemberi, $BC , AC$ ve $AB$ kenarlarına sırasıyla, $A_{1} , B_{1}$ ve $C_{1}$ noktalarında teğettir. $AA_{1}$ doğrusu, iç teğet çemberi ikinci kez $Q$ noktasında kesiyor. $A_{1}C_{1}$ ve $A_{1}B_{1}$ doğruları, $A$ noktasından geçen ve $BC$ ye paralel olan doğruyu sırasıyla, $P$ ve $R$ noktalarında kesiyor. $ m(\widehat{PQC_{1}})=45^\circ$ ve $m(\widehat{RQB_{1}})=65^\circ$ ise, $m(\widehat{PQR})$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 110
\qquad\textbf{b)}\ 115
\qquad\textbf{c)}\ 120
\qquad\textbf{d)}\ 125
\qquad\textbf{e)}\ 130
$

Her $0\leq i \leq 17$  için  $a_{i}$  sayısı, $-1 , 0$ ve $1$ olmak üzere, $$ a_{0}+2a_{1}+2^{2}a_{2}+ \cdots +2^{17}a_{17}=2^{10}$$ eşitliğini sağlayan kaç  $(a_{0} , a_{1} , \cdots ,a_{17} )$ on sekizlisi vardır?

$
\textbf{a)}\ 9
\qquad\textbf{b)}\ 8
\qquad\textbf{c)}\ 7
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ 1
$

$f(x) = \dfrac{x^{5}}{5x^{4}-10x^{3}+10x^{2}-5x+1}$  ve  $1 \leq  i \leq  2009$  için $x_{i}=\dfrac{i}{2009}$ ise

$f(x_{1})+f(x_{2})+\cdots +f(x_{2009})$ toplamı kaçtır?


$
\textbf{a)}\ 1000
\qquad\textbf{b)}\ 1005
\qquad\textbf{c)}\ 1010
\qquad\textbf{d)}\ 2009
\qquad\textbf{e)}\ 2010
$

Tüm tam sayılar kümesi, farkları asal bir sayıya eşit olan herhangi iki tam sayı aynı alt kümeye düşmeyecek biçimde, $n$ alt kümeye ayrılabiliyorsa, $n$ en az kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 6
\qquad\textbf{b)}\ 5
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$ABCD$  kirişler dörtgeninin $[AC]$ ve $[BD]$ köşegenleri, $P$ noktasında kesişiyor. $APB$ ve $CPD$ üçgenlerinin çevrel çemberlerinin merkezleri $ABCD$ dörtgeninin çevrel çemberinin üstünde ve $|AC|+|BD| = 18$ ise, $ABCD$ dörtgeninin alanı nedir?

$
\textbf{a)}\ 36
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{81}{2}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{36\sqrt{3}}{2}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{81\sqrt{3}}{4}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$ 11^{2}+13^{2}+17^{2} ,  24^{2}+25^{2}+26^{2} ,  12^{2}+24^{2}+36^{2} ,  11^{2}+12^{2}+132^{2} $ sayılarından kaçı bir tam sayının karesine eşittir?


$
\textbf{a)}\ 4
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 1
\qquad\textbf{e)}\ 0
$

$|x^{3}+3x^{2}-33x-3| \geqslant 2x^{2} $ eşitsizliğini , $|x| \geqslant n $  koşulunu sağlayan her $x$ gerçel sayısı için doğru kılan $n$ tam sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 9
\qquad\textbf{b)}\ 8
\qquad\textbf{c)}\ 7
\qquad\textbf{d)}\ 6
\qquad\textbf{e)}\ 5
$

Her biri dört elemanlı $n$ kümeden, hangi farklı ikisini alırsak alalım, bu iki kümeden yalnızca birine ait olan tüm elemanlardan oluşan küme, başlangıçdaki $n$ kümeden birine eşitse, $n$ en çok kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 3
\qquad\textbf{b)}\ 5
\qquad\textbf{c)}\ 7
\qquad\textbf{d)}\ 15
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$ABC$ üçgeninin $[AL]$ ve $[BM]$ kenarortayları $K$ noktasında kesişiyor. $C,K,L,M$ noktaları çembersel ve $|AB|=\sqrt{3}$ ise $[CN]$ kenarortayının uzunluğu nedir?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ \sqrt{3}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{3\sqrt{3}}{2}
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$x$ ve $y$ farklı pozitif tam sayılar olmak üzere, $(x+y^2)(x^2-y)/(xy)$ ifadesinin alabileceği en küçük pozitif tam sayı değer nedir?

$
\textbf{a)}\ 3
\qquad\textbf{b)}\ 8
\qquad\textbf{c)}\ 14
\qquad\textbf{d)}\ 15
\qquad\textbf{e)}\ 17
$

Her $n\geqslant 2$ için, $ a_{n}=\sqrt[3]{n^3+n^2-n-1} / n $  ise, $a_{2}a_{3}\cdots a_{k}>3$ eşitsizliğinin sağlanması için $k$ pozitif tam sayısının en az kaç olması gerekir?


$
\textbf{a)}\ 100
\qquad\textbf{b)}\ 102
\qquad\textbf{c)}\ 104
\qquad\textbf{d)}\ 106
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Yüz kenti olan bir ülkedeki bazı kentler arasında yapılan tek yönlü uçak seferleri, başkentten başlayıp, ülkedeki her kentten en az bir kez geçerek, yeniden başkente dönmeyi mümkün kılan en az bir sefer dizisi bulunacak biçimde düzenlenmiştir. Böyle bir düzenlemede, bu şekildeki uçak seferi dizilerinden sefer sayısı en az olanın sefer sayısı, bütün bu tür düzenlemeler arasında en çok kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 1850
\qquad\textbf{b)}\ 2100
\qquad\textbf{c)}\ 2550
\qquad\textbf{d)}\ 3060
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$