Küpü $n$ den büyük olmayan her pozitif tam sayı ile bölünen en büyük $n$ pozitif tam sayısını bulunuz.

$\{1,2,3,\dots, 2012\}$ kümesinin, ikisi de toplamları $2$ nin bir kuvveti olan iki farklı sayı içermeyen iki kümeye kaç farklı biçimde ayrılabileceğini belirleyiniz.

$[AB]$ doğru parçası $\Gamma$ çemberinin merkezinden geçmeyen ve orta noktası $M$ olan bir kirişi olsun. $C$, $\Gamma$ çemberine ait ve $A$ ile $B$ den farklı değişken bir nokta olmak üzere; $CAM$ üçgeninin çevrel çemberinin $A$ noktasındaki teğeti ile $CBM$ üçgeninin çevrel çemberinin $B$ noktasındaki teğetinin kesişim noktası $P$ olsun. Tüm $CP$ doğrularının ortak bir noktadan geçtiğini kanıtlayınız.

$a+b+c=4$ koşulunu sağlayan tüm $a, b, c$ negatif olmayan gerçel sayıları için, $$a^2+b^2+c^2 + 3abc \geq M(ab+bc+ca)$$ olmasını sağlayan en büyük $M$ gerçel sabitini bulunuz.

Bir üçgenin kenarlarının uzunlukları $a,b,c$, bu kenarlara ait dış teğet çemberlerinin yarıçapları sırasıyla, $r_a$, $r_b$, $r_c$ ve iç teğet çemberinin yarıçapı $r$ ise, $$\dfrac{a+b+c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \leq 2 \dfrac {\sqrt {r_a^2+r_b^2+r_c^2}}{r_a+r_b+r_c-3r}$$ olduğunu kanıtlayınız.

$\dfrac{5^m + 2^np}{5^m - 2^np}$ ifadesinin bir tam sayının karesi olmasını sağlayan tüm $m$, $n$ pozitif tam sayılarını ve $p$ asal sayılarını bulunuz.

$x+y \geq 0$ koşulunu sağlayan tüm $x,y$ gerçel sayıları için, $$(x^2+y^2)^3 \geq 32(x^3 + y^3)(xy-x-y)$$ olduğunu kanıtlayınız.

Bir ülkenin bazı kentleri arasında karşılıklı seferler düzenleyen Çizge Hava Yolları'nın (ÇHY) seferlerini kullanarak herhangi iki kentin arasında ulaşım mümkündür. ÇHY'nin daha önce aralarında sefer olmayan iki kentin arasına yeni sefer koymasının ardından, herhangi iki kent arasında en çok $17$ sefer kullanarak ulaşım mümkün oluyor. Bu seferin konulmasından önce her herhangi iki kent arasında ulaşım için gereken sefer sayısının en çok kaç olabileceğini belirleyiniz.