$ABC$ eşkenar üçgeninde $BC$ kenarı üzerinde köşe noktalarından farklı bir $D$ noktası alınıyor. $I$, $ABD$ üçgeninin $AB$ kenarına bakan dış teğet çemberin merkezi olsun. Benzer şekilde $J$ de $ACD$ üçgeninin $AC$ kenarına bakan dış teğet çemberin merkezi olsun. $AIB$ ve $AJC$ üçgenlerinin çevrel çemberlerinin $A$ dan farklı olarak ikinci defa kesiştikleri nokta $E$ olsun. $A$ nın $IEJ$ üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi olduğunu ispatlayınız.

a) $p, q, r$ asal sayılar olmak üzere $3\nmid (p+q+r)$ dir. Buna göre $(p+q+r)$ ve $(pq+qr+rp+3)$ ün her ikisinin de tam kare olmasını sağlayan bütün $(p,q,r)$ üçlülerini bulunuz.

b) $p, q, r$ asal sayılar olmak üzere $3\mid (p+q+r)$ olan ve $(p+q+r)$ ve $(pq+qr+rp+3)$ ün her ikisinin de tam kare olmasını sağlayan $(p,q,r)$ sayıları bulunur mu?

$A$ ve $B$ oyuncuları bir top ve düzgün bir $n$-genin her köşesine bir tane yerleştirilmiş olan $n$ tane kutuyla bir oyun oynamaktadırlar ($n$ pozitif tamsayı). İlk olarak $A$ oyuncusu topu herhangi bir kutuya saklıyor. Bundan sonraki her adımda $B$ bir kutu seçiyor, $A$ bu kutunun topun içinde bulunduğu kutuya olan uzaklığını $B$ ye söylüyor ve topu bulunduğu kutunun komşu kutularından birine koyuyor. Eğer $B$ topu bulursa kazanıyor. Buna göre $B$ oyuncusunun en az kaç adımda kazanmayı garantileyeceğini bulunuz.

$a,b,c$ pozitif gerçel sayılar ve $a+b+c=1$ ise aşağıdaki eşitsizliği ispatlayınız.$$\dfrac{a^4+5b^4}{a(a+2b)}+\dfrac{b^4+5c^4}{b(b+2c)}+\dfrac{c^4+5a^4}{c(c+2a)} \ge 1-ab-bc-ca$$

$a,b,c,d$; $1$ den büyük gerçel sayılar ve $x,y$ de gerçel sayılardır. $a^x+b^y=(a^2+b^2)^x$ ve $c^x+d^y=2^y(cd)^{\frac{y}{2}}$ eşitlikleri sağlanıyorsa $x<y$ olduğunu ispatlayınız.

$2n+7\mid n!-1$ olmasını sağlayan bütün $n$ pozitif tamsayılarını bulunuz.

Konveks bir $ABCD$ dörtgeninde köşegenler $E$ noktasında kesişiyor. $BE=ED\sqrt{2}$ ve $\angle BEC=45^\circ$ dir. $A$ dan $BC$ ye inilen dikmenin ayağı $F$ olsun. $P$ noktası da $BFD$ üçgeninin çevrel çemberi ile $DC$ doğrusunun ikinci kesişim noktası olsun. Buna göre $\angle APD$ yi bulunuz.

$2013$ kentin bulunduğu bir ülkede, her kentten kalkan en az bir sefer olacak biçimde, her kent ikilisi arasında tek yönlü uçak seferleri yapılmaktadır. Seferler nasıl düzenlenmiş olursa olsun, her kentten en çok bir aktarma ile ulaşılabilen $k$ kent bulunuyorsa, $k$ nin alabileceği en büyük değeri belirleyiniz.