2012-2015 arasındaki çıkan birçok ülkenin eşitsizlik sorusunun bulunduğu iyi bir eşitsizlik kaynağı...

Bu yıl 17 Eylül'de liseler ders başı yapıyor. Yeni eğitim öğretim yılınız hayırlı olsun ...

Okula yeni gelen 9. sınıf öğrencileri arasından olimpiyat takımına öğrenci seçmek için hazırladığımız sınav sorularını ekliyorum. sbs'den çıkıp gelen öğrencilerin lise konularında pek başarılı olamayacağını tahmin edebiliriz. Bu sebeple sorular ilköğretim müfredatındaki konular dikkate alınarak hazırlanmıştır. Kendi okullarında takım seçme sınavı yapmak isteyen arkadaşlarımız da faydalanabilirler. Ayrıca ilköğretim olimpiyatına hazırlanan öğrenciler için de deneme sınavı olarak uygulanabilir. İyi çalışmalar ...

NOT: yazım hataları düzeltilip güncellenmiştir

Soruların çözümlerini bu ileti altında toplamak faydalı olabilir.


NOT 1: Bir soru ilk kez çözülüyorsa, sorusunu da girelim. İkinci çözüm yapılıyorsa tekrar soru yazmaya gerek yoktur.

NOT 2: Çözümlerin tamamı video olarak eklenmiştir.

problem 1-2-3
problem 4-5
problem 6-7
problem 8-9
problem 10-11
problem 12-13
problem 14-15
problem 16-17
problem 18-19
problem 20-21
problem 22-23
problem 24-25

(scarface)

SORULARI ÇÖZEN VAR MI? ÇÖZDÜYSENİZ ÇÖZÜMLERİ BERABER PAYLAŞALIM BU KISIMDA

Edit: Soruların pdf dosyası ilk mesaja eklenmiştir. (Scarface)

Antalya Matematik Olimpiyat'ında Lise2-3 soruları arasındaki geometri sorusunu çözen varsa paylaşabilir mi?

Problem 1. $\mathbb N $ pozitif tam sayılar kümesini göstermektedir. Her $a$ ve $b$ pozitif tam sayıları için

$$ f(a^2 + b^2) = f(a)f(b) \quad , \quad f(a^2)=f(a)^2$$

eşitliklerini sağlayan tüm $f:\mathbb N \to \mathbb N $ fonksiyonlarını bulunuz.

Ali Nesin bey'in asal sayılar üzerine bir yazısı...

Her $x$ reel sayısı için, $f(x+19)\leq f(x)+19$ ve $f(x+94)\geq f(x) + 94$ eşitsizliklerini sağlayan reel değerli $f$ fonksiyonunun her $x$ reel sayısı için, $f(x+1)=f(x)+1$ eşitliğini sağladığını gösteriniz.

Anadolu Üniversitesi'nin hazırlamış olduğu ayrık (discrete) matematik ile ilgili ders notları...

Bu yazımızda, kombinatorikte önemli bir yer tutan ve binom açılımı olarak bilinen teorem ile ilgili bazı ilginç problemler üzerinde duracağız. Ayrıca bazı kombinatorik eşitliklerin ispatında binom teoreminin kullanımına yer vereceğiz. Hayırlı çalışmalar

Beğendiğim bir kaç olimpik tarzdaki sorunun çözümünü paylaşmak istedim.faydalı olması dileğiyle..

Not:Hocam forum kuralları gereği büyük harflerle başlık açmayınız.

Matematikteki ünlü eşitsizliklerden biri olan Cauchy – Schwarz eşitsizliği, olimpiyatlarda da önemli bir yere sahiptir. C – S eşitsizliği, klasik eşitsizlik ispatlarından başka, maksimum – minimum problemlerinin çözümünde ve denklem çözümlerinde de kullanılabilmektedir. ''Kuralı bilmemize rağmen, problem çözümlerinde C-S eşitsizliğini nerede uygulayacağımızı kestiremiyoruz'' diyenler için düşünerek hazırladığımız bu dökümanın sağlam bir altyapı ve fikir oluşturacağını ümit ediyoruz...Hayırlı çalışmalar.

Sayılar Teorisi için güzel bir kaynak.

Kitap açık kaynak kodlu
http://www.opensourcemath.org/books/santos/
tex dosyalarından kendiniz derleyebilirsiniz.
Örnek:
https://www.sharelatex.com/project/50e489339d498ecc1b2bc01b

www.sharelatex.com sıfır kurulumla LaTeX kullanmak için güzel bir site.

...

....

Fermat, her $n$ doğal sayısı için $F_n = 2^{2^n} + 1$ sayısının asal olduğunu iddia etmişti. $n=0,1,2,3,4$ için  için $F_n$ nin asal olduğunu biliyoruz. Yaklaşık $100$ yıl sonra Euler $F_5 = 2^{32}+1 = 4294967297$ sayısının bileşik olduğunu göstererek Fermat'nın sanısını çürütmüştü. Bu sayı $641$ ile bölünüyordu.


Şu soru birçoğumuzun aklına gelmiştir: Acaba Euler kalemi kağıdı eline alıp hunharca $2,3,5,7,11, \dots , 641$ asallarına bölünebilirliği mi test etti? Yoksa eşi benzeri görülmemiş yüksek matematik zekasıyla bu işlemleri hızlandırmanın bir yolunu mu bulmuştu?


Böyle bir hızlı yol var. Euler, birazdan aşağıda açıklayacağım yöntemle mi $641$ ile bölünebilmeyi düşündü yoksa daha farklı işlemler mi kullandı bilemiyorum. Sadece bir teori olarak, ''şöyle yapmış olabilir'' diye düşündüm. Tarihsel belgelere ya da kaynaklara ulaşabilenler yorum/cevap olarak ekleyebilirler. Başlayalım:

$2^{32}+1$ sayısı bir $p$ asal sayısına bölünüyorsa $2^{32}+1 \equiv 0 \pmod{p}$ olup $2^{64} \equiv 1 \pmod{p}$ olur. O halde $2$ nin $\mod p$ içindeki mertebesi ya $64$ tür ya da $64$ ün bir pozitif bölenidir. Fakat $1,2,4,\dots, 32$ gibi değerlerden biri mertebe olsaydı $2^{32}\equiv 1 \pmod{p}$ olurdu. Bu ise $2^{32}\equiv -1 \pmod{p}$ ile çelişir. Demek ki $2$ nin mertebesi gerçekten $64$ tür. Şimdi Fermat teoreminden $2^{p-1}\equiv 1 \pmod{p}$ olduğundan dolayı $64|p-1$ dir. Yani $p=64k+1$ formunda bir asal sayı olmalıdır ($k\in \mathbb Z^{+}$). Elbette $k$ tam sayısı da her değeri alamaz. Örneğin $k \equiv 2 \pmod {3}$ olsa $p=64k+1 \equiv 0 \pmod{3}$;  $k \equiv 1 \pmod {5}$ olsa $p=64k+1 \equiv 0 \pmod{5}$ olup $p$ bileşik sayı olurdu. $k$ için farklı modlarda başka kısıtlamalar da getirebiliriz ancak bu problem özelinde ihtiyacımız olmayacak. Şimdilik sadece $k\not \in \{ 1, 2, 5, 6, 8\}$ olduğunu söyleyelim.

$\bullet $ $k=3$ için $p=64\cdot 3 +1 = 193$ asal sayısı elde edilir. $F_5= 4294967297$ bu sayı ile bölünmüyor.

$\bullet $ $k=4$ için $p=64\cdot 4 +1 = 257$ asal sayısı elde edilir. $F_5= 4294967297$ bu sayı ile bölünmüyor.

$\bullet $ $k=7$ için $p=64\cdot 7 +1 = 449 $ asal sayısı elde edilir. $F_5= 4294967297$ bu sayı ile bölünmüyor.

$\bullet $ $k=9$ için $p=64\cdot 9 +1 = 577$ asal sayısı elde edilir. $F_5= 4294967297$ bu sayı ile bölünmüyor.

$\bullet $ $k=10$ için $p=64\cdot 10 +1 = 641$ asal sayısı elde edilir. $F_5= 4294967297$ bu sayı ile tam bölünüyor. Gerçekten $F_5= 4294967297 = 641\cdot 6700417 $ biçiminde çarpanlara ayrılıyor. İkinci çarpanımız da bir asal sayıdır ve o da elbette $6700417 =64k+1$ formundadır.


Not 1. İki kare farkı vb özdeşlikler kullanılarak $2^{32}+1$ in çarpanlara ayrıldığını görmüştüm. Ancak bu tür bir çözüm $2^{32}+1$ sayısının bileşik olduğunu, $641$'e bölünebildiğini zaten biliyorsanız girişmeye cesaret edeceğiniz bir yöntemdir. Önemli olan $2^{32}+1$ sayısının bileşik olduğuna dair Euler'in ilk fikirleri neydi? Benim teorim, Euler mertebe kavramını kullanarak ve biraz hesaplama yapmayı göze alarak yukarıdakine benzer işlemlerle sonuca ulaşmıştır. $F_5$'i sadece $5$ tane asala bölerek sonuca ulaştığım için kısa olarak kabul edilebilir. İşin gerçeği nedir bilmiyorum, umarım O'nun gibi akıl yürütme kullanmışımdır.

Not 2. (Bu bilgilendirme notu için Yasin Şale'ye teşekkürler). Euler ilk makalesinde çözümün ayrıntılarını vermemiş. On beş sene sonraki makalede açıklamış. Yukarıda yaptığımıza benzer biçimde çıkarımda bulunmuş. How Euler Did It isimli yazıya bakılabilir.

$x$ bir pozitif gerçel sayı, $n$ bir pozitif tamsayı olmak üzere  $\dfrac{1}{x}$ $+$ $\dfrac{1}{x^2}$ $+$ $⋯$ $+$ $\dfrac{1}{x^n}$ $=$ $1$ ise

                                                                                  $\dfrac{1}{2-x}$ $≥$ $\dfrac{n-1}{2}$ $+$ $\dfrac{1}{x^n}$

eşitsizliğinin sağlandığını gösteriniz.

$a$,$b$,$c$ pozitif gerçel sayılardır. $ab$ $+$ $bc$ $+$ $ac$ $=$ $1$ ise $abc$ $(a+b+c)$ ifadesinin $3/8$ den küçük olduğunu gösteriniz.

...

İlginenler için güzel bir kaynak olabileceğini düşünüyorum. Kendi hazırladığım, yabancı bir dergide yayımlanmış bazi cebirsel eşitsizlikler üzerine..

Ağırlıklı olarak çıkmış sorular ve çözümlerinden oluşan yer yer konu anlatımı kırıntısı olan yeni çalışma kağıdı pdf.si

$\textit{Problem 1}$

$a+b+c=1$ eşitliğini sağlayan tüm $a,b,c$ pozitif gerçel sayıları için;
$${{a-bc}\over{a+bc}} + {{b-ca}\over{b+ca}} + {{c-ab}\over{c+ab}}
\leq {3 \over 2}$$
olduğunu gösteriniz.



$\textit{Problem 3}$

$abc=1$ eşitliğini sağlayan tüm $a,b,c$ pozitif gerçel sayıları için;
$$\frac{ab}{a^5+b^5+ab}+\frac{bc}{b^5+c^5+bc}+\frac{ca}{a^5+c^5+ca}\leq1$$
olduğunu gösteriniz.



$\textit{Problem 4}$

$a,b,c$ pozitif gerçel sayıları $a^2+b^2+c^2+2abc \le 1$ koşulunu sağlıyorsa;
$$K \left(\dfrac{1}{abc}-\dfrac{a}{b}-\dfrac{b}{c}-\dfrac{c}{a} \right) > 2(a+b+c) \left(\dfrac{1}{2a+1}+\dfrac{1}{2b+1}+\dfrac{1}{2c+1}+2(ab+bc+ca) \right)$$
olmasını sağlayan en küçük $K$ tamsayı sabitini belirleyiniz.



$\textit{Problem 5}$

$a+b+c=3$ koşulunu sağlayan tüm $a,b,c$ pozitif gerçel sayıları için;
$$\dfrac{2-\sqrt{a}}{\sqrt{c+3a}}+\dfrac{2-\sqrt{b}}{\sqrt{a+3b}}+\dfrac{2-\sqrt{c}}{\sqrt{b+3c}} \ge \frac{3}{2}$$
olduğunu gösteriniz.



$\textit{Problem 6}$

$a,b,c $ pozitif gerçel sayıları için $a^2+b^2+c^2+abc \le 4$ koşulu sağlanıyorsa;
$$\dfrac {1}{\sqrt {a}}+\dfrac {1}{\sqrt {b}}+\dfrac {1}{\sqrt {c}} \ge a+b+c $$
olduğunu gösteriniz.



$\textit{Problem 7}$

$xy+yz+zx \ge 3$ koşulunu sağlayan tüm $x,y,z$ pozitif gerçel sayıları için;
$$\dfrac{x}{(z+1)^2} \sqrt{ \left(\dfrac{x}{y}+z \right)(y+zx)} \text{  +  }\dfrac{y}{(x+1)^2} \sqrt{ \left(\dfrac{y}{z}+x \right)(z+xy)} \text{  +  }\dfrac{z}{(y+1)^2} \sqrt{ \left(\dfrac{z}{x}+y \right)(x+yz)} \ge \dfrac{3}{2}$$
olduğunu gösteriniz.



$\textit{Problem 8}$

$a^3+b^3+c^3=a+b+c$ eşitliğini sağlayan tüm $a,b,c$ pozitif gerçel sayıları için;
$$\dfrac{a}{a^2+b^2+c^3}+\dfrac{b}{b^2+c^2+a^3}+\dfrac{c}{c^2+a^2+b^3} \ge abc$$
olduğunu gösteriniz.



$\textit{Problem 9}$

$x+y+z \le 3$ koşulunu sağlayan tüm $x,y,z$ pozitif gerçel sayıları için;
$$\dfrac{x^3}{x^3+3x-1}+\dfrac{y^3}{y^3+3y-1}+\dfrac{z^3}{z^3+3z-1} \le 1$$
olduğunu gösteriniz.

$\textit{Problem 1}$

$a^2+b^2+c^2+abc \le 4$ koşulunu sağlayan tüm $a,b,c$ pozitif gerçel sayıları için;
$$\dfrac{c(a+b)(ab+2c)}{c+2}+\dfrac{b(c+a)(ca+2b)}{b+2}+\dfrac{a(b+c)(bc+2a)}{a+2} \le 6$$
olduğunu gösteriniz.


$\textit{Problem 3}$

Tüm $x,y,z$ pozitif gerçel sayıları için;
$$\dfrac{(x^2+1)(y^2+1)}{x+y}+\dfrac{(y^2+1)(z^2+1)}{y+z}+\dfrac{(z^2+1)(x^2+1)}{z+x} \ge 2(xy+yz+zx)+K$$
olmasını sağlayan en büyük $K$ gerçel sabitini ve eşitlik durumunu belirleyiniz.


$\textit{Problem 4}$

$x,y,z$ pozitif gerçel sayıları $x+y+z=3$ eşitliğini sağlıyorsa;
$$\dfrac{x^4+y^3+z^2}{x^7+y^6+z^5}+\dfrac{y^4+z^3+x^2}{y^7+z^6+x^5}+\dfrac{z^4+x^3+y^2}{z^7+x^6+y^5} \le 3$$
olduğunu gösteriniz.



$\textit{Problem 5}$

$abc=1$ eşitliğini sağlayan tüm $a,b,c$ pozitif gerçel sayıları için;
$$\dfrac{1}{a^5(b+2c)^2}+\dfrac{1}{b^5(c+2a)^2}+\dfrac{1}{c^5(a+2b)^2} \ge \frac{1}{3}$$
olduğunu gösteriniz.



$\textit{Problem 6}$

Tüm $x,y,z$ pozitif gerçel sayıları için;
$$x+y+z \ge 4xyz \left( \dfrac{(2-x)(y-2)+K}{(2x+2y+1)^2}+\dfrac{(2-y)(z-2)+K}{(2y+2z+1)^2}+\dfrac{(2-z)(x-2)+K}{(2z+2x+1)^2} \right)$$
olmasını sağlayan en büyük $K$ gerçel sabitini bulunuz ve bu $K$ gerçel sabiti için eşitlik durumunu bulunuz.



$\textit{Problem 7}$

$a,b,c,d$ pozitif gerçel sayılar ve $abcd=1$ ise  $\dfrac{ab+1}{a+1}+\dfrac{bc+1}{b+1}+\dfrac{cd+1}{c+1}+\dfrac{da+1}{d+1}≥4$ olduğunu ispatlayınız.



$\textit{Problem 8}$

$a,b,c$ pozitif gerçel sayıları $ab+bc+ac=1$ eşitliğini sağlıyorsa aşağıdaki eşitsizliği ispatlayınız.
$$\sqrt{3}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}) \le \dfrac{a\sqrt{a}}{bc}+\dfrac{b\sqrt{b}}{ca}+\dfrac{c\sqrt{c}}{ab}$$


$\textit{Problem 9}$

$x,y,z$ negatif olmayan gerçel sayıları $x^2+y^2+z^2=2(xy+yz+zx)$ eşitliğini sağlıyorsa;
$$\dfrac{x+y+z}{3} \ge \sqrt[3]{2xyz}$$
olduğunu gösteriniz.

Bu yazıda Faydalı eşitsizlik ile ilgili bir kolay bir problem ve eşitsizliğin kökeni ile ilgili bazı bilgiler sunacağız.


Problem: $a\cdot b \cdot c \neq 0$ olan $a, b, c$ gerçel sayıları $a^2+b^2+c^2=1$ eşitliğini sağladığına göre, $$S=\dfrac{a^4}{b^2}+\dfrac{b^4}{c^2}+\dfrac{c^4}{a^2}$$ ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?




Cauchy-Schwartz eşitsizliğinin bir türü olup İlham Aliyev hocamız tarafından da Faydalı Bir Eşitsizlik ismiyle Tübitak matematik olimpiyat kamplarında anlatılan bir eşitsizlik vardır. Bu eşitsizlik bazı Amerikalılar tarafından, (Hem ABD takımının önemli eğitmenlerinden Titu Andreescu'ya hem de yıkıcı gücüyle Terminatör 2'ye gönderme yapılarak) Titu's Lemma, T2 Lemma gibi isimlerle internette yayılmaya çalışılmıştır. (Bkz. Wikipedia ve AoPS.) Öte taraftan ulaşabildiğim kaynaklara göre faydalı eşitsizlikten 1997'de Rusça olarak Kvant dergisinde Ermeni matematikçi Nairi Sedrakyan bahsetmiştir. Fakat Kvant'daki yazıda hiçbir kaynakça yoktur. Garip biçimde Cauchy'ye bile referans verilmemiştir. Birileri de Wikipedia'daSedrakyan's inequality ismiyle başlık açmıştır. Fakat eşitsizliğin kitaplara girişi daha eski bir tarihe gidiyor. cut-the-knot sitesinde E. F. Beckenbach veR. Bellman'ın Inequalities (Springer, 1961) isimli kitabında Bergström's inequality ismiyle bulunduğu aktarılmaktadır. Eğer varsa, daha eski bir kaynağın varlığı ortaya çıkana kadar, Bergström Eşitsizliği isminin kullanılmasını teşvik ve tavsiye ediyoruz. Bugünkü bilgimizle eşitsizlik Bergström'e aittir. Örneğin buradaki gibi bilimsel dergilerde Bergström'e atıf yapıldığını ve Amer. Math. Montly, Vol. 62 (1955), 172–173 ile verilen kaynakçasında "An Inequality Due to Bergström" ismini görüyoruz. Yani bu eşitsizlik ile ilgili yazılı kayıtlar 1955'e kadar uzanmaktadır.



Çözüm:

Faydalı eşitsizlikten $ S=\dfrac{(a^2)^2}{b^2}+\dfrac{(b^2)^2}{c^2}+\dfrac{(c^2)^2}{a^2} \geq  \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2 + b^2 + c^2} = 1$ olup $S \geq 1$ elde edilir. Eşitlik durumu $a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ iken sağlanır. Böylece $S_\min = 1$ sonucuna ulaşırız.


Son Güncelleme: 6 Eylül 2023.

...

...

Ulusal mat. olimpiyatının yaklaştığı şu günlerde fonksiyonel denklemler ile ilgili hazırladığımız kitapçığı sizlere sunalım. Zaman daraldığı için bu sene sınavlara girecek öğrenciler mahrum kalmasın istedik. İleride çalışmanın hacmini daha da artırıp güncelleyebiliriz. Çalışmalarınızda kolaylılar dileriz ...

(Not: yeni problemler eklenip, hatalı ifadeler düzeltilerek güncellenmiştir)

Genelleme olmayan genellemeler

Sorular siteden açıklanmış. Büyükler testinde(2.Kategori) gerçek anlamda zor sorular var. Bu soruların çözümlerini yapabilir miyiz?

Şimdiden teşekkürler...

Kolay gelsin..

geomania problem grubu ismiyle Mayhem'e gönderdiğimiz çözümleri sunalım ...

2008 de çözmüştük sanırım ... Alper Çay bey'in teşvikiyle Mathematical Mayhem'deki bir probleme gönderdiğimiz çözüm

...

Ortalama eşitsizliklerinin ne olduğunu biliyoruz ama problemlere nasıl ve ne zaman uygulayacağımızı bilmiyoruz diyenler için bir yazı hazırladık. hayırlı çalışmalar, kolay gelsin...

(not: belgede güncelleme yapılmıştır. gözünüze takılan hataları özel msj ile bildirirseniz memnun oluruz)

merhabalar acaba elinde samanyolu ulusal matematik yarışması soruları bulunan gönderebilir mi?
sitesinden kaldırılmış diğer forum siteleri de sitesinin adresini verdğinden bulamadım şimdiden teşekkürler.
 

" 1 den küçük en büyük reel sayı nedir ?" 

...

...

Soru: $n^2 +2016n$ ifadesinin tam kare olmasını sağlayan en büyük $n$ tam sayısı kaçtır?

Çözüm:

$n^2 +2016n=m^2$ olsun. Her iki tarafa $1008^2$ eklersek

$n^2 +2016n + 1008^2=m^2 + 1008^2 \implies (n+1008)^2-m^2=1008^2$.

İki kare farkından $(n-m+1008)(n+m+1008)=1008^2$ dir.

$n-m+1008$ ile $n+m+1008$ aynı pariteye sahiptir. Yani ya her ikisi de çift sayı ya da her ikisi de tek sayıdır.

Çarpımları çift sayı olduğuna göre her ikisi de çift sayıdır.

$n-m+1008=2$ ve $n+m+1008=\dfrac{1008^2}2$ seçilirse $n$ en büyük değerine ulaşır.

Bu denklemlerin toplamından $2n + 2\cdot 1008=2+\dfrac{1008^2}2 \implies n=\dfrac{1008^2}4-1007=503^2$ dir.

İyi çalışmalar,faydalı olması dileğiyle...

teleskobik toplamlar ile ilgili bir çalışma hazırladık. kolay gelsin, hayırlı çalışmalar...

Belki de bilinen bir şeydir çoğunuz için ama bugün bana sorulan bilindik bir sorudan hareketle çıkardığım bir pratik ilgilenen arkadaşlara faydası olması dileğiyle...

Teleskobik toplamlarla ilgili karşımıza çıkabilecek soru çözümlerini ekledim faydalı olması dileğiyle...

Not:Hocam büyük harflerle başlık açmayınız.Teşekkürler.

Özellikle bol miktarda formül içerdiği için öğrencilerin çoğunluğu açısından birçok lise matematik konusuna nazaran daha zor olarak kabul gören bir konu olan trigonometri konusunu ele alacağız. Bu yazıyı evvela, ‘trigonometri konusuna çalıstık ve temel formülleri de biliyoruz ama sorularda uygulayamıyoruz’ diyen öğrenciler için hazırladık. Buna ilave olarak, olimpiyat sorularında trigonometri problemleri direkt olarak pek sorulmasa da tercih ettiğiniz çözüm yoluna göre trigonometrik çözümler oldukça kullanıslı olabilmektedir. Bu yönüyle olimpiyata giriste temel bilgilerinizi kontrol etmek için de bu çalısma kağıdından faydalanabilirsiniz. Birbiri ile iliskili ya da benzer yöntemle çözülebilen problemler pes pese sıralanıp aynı renkle boyanmıstır. Toplam – fark, yarım açı, dönüsüm – ters dönüsüm formüllerini burada tekrar yazmayacağız. Bunları hatırlatma kağıtlarınızda zaten not etmis olmalısınız, kopya çekmek serbesttir. Kolay gelsin …

Sonlu matematiğin en önemli ve temel formüllerinden olan Tümleme Prensibi ve De Morgan Kuralları ile ilgili bir çalışma kağıdı hazırladık. Tümleme Prensibi ve De Morgan Kuralları'nın diğer sonlu matematik prensipleriyle beraber kullanıldığı birçok problem kurulabilir. Beğenerek okuyacağınız bir yazı olduğunu ümit ediyoruz, Kolay gelsin  ...

Vieta teoremi ile ilgili hazırladığımız çalışma kağıdını sunalım ... (Çözümleri de el yazması olarak ekleyeceğiz)

İngilizce olan bu kaynaklar dil bakımından sade olup anlaşılabilecek düzeydedir. İçerik bakımından bilinen fakat içinde yararlı olan birkaç dokümanı paylaşıyorum. Kolay gelsin...

Daha çok kombinatorik kitaplarında yer bulan fakat, sayılar teorisi ve analiz-cebir problemlerinde de karşımıza çıkan ve çalışması keyifli bir konu ile ilgili yazı hazırladık: İndirgemeli Dizi Problemleri. Olimpiyat 1.aşama sınavına yaklaştığımız şu günlerde indirgemeli diziler ile ilgili eksiği olan öğrencilerimize ilaç gibi gelecektir Hayırlı çalışmalar ...

...