Fermat, her $n$ doğal sayısı için $F_n = 2^{2^n} + 1$ sayısının asal olduğunu iddia etmişti. $n=0,1,2,3,4$ için için $F_n$ nin asal olduğunu biliyoruz. Yaklaşık $100$ yıl sonra Euler $F_5 = 2^{32}+1 = 4294967297$ sayısının bileşik olduğunu göstererek Fermat'nın sanısını çürütmüştü. Bu sayı $641$ ile bölünüyordu.
Şu soru birçoğumuzun aklına gelmiştir: Acaba Euler kalemi kağıdı eline alıp hunharca $2,3,5,7,11, \dots , 641$ asallarına bölünebilirliği mi test etti? Yoksa eşi benzeri görülmemiş yüksek matematik zekasıyla bu işlemleri hızlandırmanın bir yolunu mu bulmuştu?
Böyle bir hızlı yol var. Euler, birazdan aşağıda açıklayacağım yöntemle mi $641$ ile bölünebilmeyi düşündü yoksa daha farklı işlemler mi kullandı bilemiyorum. Sadece bir teori olarak, ''şöyle yapmış olabilir'' diye düşündüm. Tarihsel belgelere ya da kaynaklara ulaşabilenler yorum/cevap olarak ekleyebilirler. Başlayalım:
$2^{32}+1$ sayısı bir $p$ asal sayısına bölünüyorsa $2^{32}+1 \equiv 0 \pmod{p}$ olup $2^{64} \equiv 1 \pmod{p}$ olur. O halde $2$ nin $\mod p$ içindeki mertebesi ya $64$ tür ya da $64$ ün bir pozitif bölenidir. Fakat $1,2,4,\dots, 32$ gibi değerlerden biri mertebe olsaydı $2^{32}\equiv 1 \pmod{p}$ olurdu. Bu ise $2^{32}\equiv -1 \pmod{p}$ ile çelişir. Demek ki $2$ nin mertebesi gerçekten $64$ tür. Şimdi Fermat teoreminden $2^{p-1}\equiv 1 \pmod{p}$ olduğundan dolayı $64|p-1$ dir. Yani $p=64k+1$ formunda bir asal sayı olmalıdır ($k\in \mathbb Z^{+}$). Elbette $k$ tam sayısı da her değeri alamaz. Örneğin $k \equiv 2 \pmod {3}$ olsa $p=64k+1 \equiv 0 \pmod{3}$; $k \equiv 1 \pmod {5}$ olsa $p=64k+1 \equiv 0 \pmod{5}$ olup $p$ bileşik sayı olurdu. $k$ için farklı modlarda başka kısıtlamalar da getirebiliriz ancak bu problem özelinde ihtiyacımız olmayacak. Şimdilik sadece $k\not \in \{ 1, 2, 5, 6, 8\}$ olduğunu söyleyelim.
$\bullet $ $k=3$ için $p=64\cdot 3 +1 = 193$ asal sayısı elde edilir. $F_5= 4294967297$ bu sayı ile bölünmüyor.
$\bullet $ $k=4$ için $p=64\cdot 4 +1 = 257$ asal sayısı elde edilir. $F_5= 4294967297$ bu sayı ile bölünmüyor.
$\bullet $ $k=7$ için $p=64\cdot 7 +1 = 449 $ asal sayısı elde edilir. $F_5= 4294967297$ bu sayı ile bölünmüyor.
$\bullet $ $k=9$ için $p=64\cdot 9 +1 = 577$ asal sayısı elde edilir. $F_5= 4294967297$ bu sayı ile bölünmüyor.
$\bullet $ $k=10$ için $p=64\cdot 10 +1 = 641$ asal sayısı elde edilir. $F_5= 4294967297$ bu sayı ile tam bölünüyor. Gerçekten $F_5= 4294967297 = 641\cdot 6700417 $ biçiminde çarpanlara ayrılıyor. İkinci çarpanımız da bir asal sayıdır ve o da elbette $6700417 =64k+1$ formundadır.
Not 1. İki kare farkı vb özdeşlikler kullanılarak $2^{32}+1$ in çarpanlara ayrıldığını görmüştüm. Ancak bu tür bir çözüm $2^{32}+1$ sayısının bileşik olduğunu, $641$'e bölünebildiğini zaten biliyorsanız girişmeye cesaret edeceğiniz bir yöntemdir. Önemli olan $2^{32}+1$ sayısının bileşik olduğuna dair Euler'in ilk fikirleri neydi? Benim teorim, Euler mertebe kavramını kullanarak ve biraz hesaplama yapmayı göze alarak yukarıdakine benzer işlemlerle sonuca ulaşmıştır. $F_5$'i sadece $5$ tane asala bölerek sonuca ulaştığım için kısa olarak kabul edilebilir. İşin gerçeği nedir bilmiyorum, umarım O'nun gibi akıl yürütme kullanmışımdır.
Not 2. (Bu bilgilendirme notu için Yasin Şale'ye teşekkürler). Euler ilk makalesinde çözümün ayrıntılarını vermemiş. On beş sene sonraki makalede açıklamış. Yukarıda yaptığımıza benzer biçimde çıkarımda bulunmuş.
How Euler Did It isimli yazıya bakılabilir.
