Bir $ABCD$ dışbükey dörtgeninin köşegenleri birbirine dik olarak $E$ noktasında kesişiyor. $[AD]$ kenarı üstünde yer alan $A$ dan farklı bir $P$ noktası $|PE|=|EC|$ koşulunu sağlıyor. $BCD$ üçgeninin çevrel çemberi de $[AD]$ yi yine $A$ dan farklı bir $Q$ noktasında kesiyor. $A$ dan geçen ve $EP$ doğrusuna $P$ noktasında teğet olan çember ise, $[AC]$ doğru parçasını $R$ noktasında kesiyor. $B$, $R$, $Q$ noktaları doğrudaş ise, $s(\widehat{BCD})=90^\circ$ olduğunu gösteriniz.
$a^3 + b^3 + c^3 = a^4 + b^4 + c^4$ eşitliğini sağlayan tüm $a,b,c$ pozitif gerçel sayıları için, \[ \frac{a}{a^2+b^3+c^3}+\frac{b}{a^3+b^2+c^3}+\frac{c}{a^3+b^3+c^2}\geq 1 \] olduğunu kanıtlayınız.
İçlerinde çeşitli renklerde toplar bulunan $2012$ torbayı $k$ kutuya
herhangi bir kutudaki tüm torbalar aynı renkte bir top içerecek veya
herhangi bir kutudaki her torba, bu kutudaki diğer torbalardan hiçbirinin içermediği renkte bir top içerecek
biçimde yerleştirmek istiyoruz. Torbalardaki topların sayıları ve renkleri ne olursa olsun, böyle bir yerleştirmeyi olanaklı kılan en küçük $k$ sayısını belirleyiniz.