Tübitak Ortaokul 2. Aşama - 2011

Tüm $x,y$ pozitif gerçel sayıları için, \[ 1 \leq \dfrac{(x+y)(x^3+y^3)}{(x^2+y^2)^2} \leq \dfrac 98 \] olduğunu gösteriniz.

$|AB|=|AC|$ olan bir $ABC$ üçgeninde $[BC]$ nin orta noktası $D$ ve $D$ den $AC$ doğrusuna inilen dikmenin ayağı $E$ dir. $BE$ doğrusu $ABD$ üçgeninin çevrel çemberini ikinci kez $F$ noktasında kesiyor. $DE$ ve $AF$ doğrularının kesişim noktası $G$ ise, $|DG|=|GE|$ olduğunu kanıtlayınız.

$m<n$ pozitif tam sayılar olmak üzere, $p=\dfrac {n^2+m^2}{\sqrt{n^2-m^2}}$ olsun.

• $p$ nin asal sayı olmasını sağlayan üç tane $(m,n)$ pozitif tam sayı ikilisi bulunuz.
• $p$ bir asal sayı ise, $p\equiv 1 \pmod 8$ olduğunu gösteriniz.

Öğretmen sınıfa $20$ tane matematik ve $11$ tane fizik sorusundan oluşan bir liste vererek, her öğrencinin tam olarak $1$ matematik ve $1$ fizik sorusu seçip çözmesini istiyor. Aynı soru ikilisi birden fazla öğrenci tarafından seçilmemişse ve her öğrencinin seçtiği iki sorudan en az biri kendisinden başka en çok bir öğrenci tarafından seçilmişse, bu sınıfta en çok kaç öğrenci olabileceğini belirleyiniz.