Tübitak Ortaokul 2. Aşama - 2010 Çözümleri

$ABCD$ dikdörtgeninin $A$ köşesinden geçen bir çember $[AB]$ kenarını köşelerden farklı bir $E$ noktasında kesiyor. $B$ den geçen ve bu çembere teğet olan bir doğrunun değme noktası $T$ olmak üzere, merkezi $B$ olan ve $T$ den geçen çember de $[BC]$ yi $F$ noktasında kesiyor. $s(\widehat{CDF})=s(\widehat{BFE})$ ise, $s(\widehat{EDF})=s(\widehat{CDF})$ olduğunu gösteriniz.

(Şahin Emrah)

$(n+15)(n+2010)$ sayısının tam kare olmasını sağlayan kaç $n$ pozitif tam sayısı bulunduğunu belirleyiniz.

(Okan Tekman)

Bır sınavdaki her soruyu tam olarak dört öğrenci, her soru ikilisini de tam olarak bir öğrenci çözmüştür. Hiçbir öğrenci tüm soruları çözmediyse, bu sınavda en çok kaç soru bulunabileceğini belirleyiniz.

(Azer Kerimov)

Tüm $a,b$ pozitif gerçel sayıları için, \[ a^2b^2(a^2+b^2-2) \geq (a+b)(ab-1)\] olduğunu kanıtlayınız.

(Okan Tekman)

Çözüm:

İfadeyi düzenlersek, $a^4b^2+a^2b^4+a+b \ge 2a^2b^2+a^2b+ab^2 \tag{1}$ olur. Aritmetik geometrik ortalama eşitsizliğinden
$$\dfrac{3(a^4b^2+a^2b^4)+2(a+b)}{5} \ge \sqrt[5]{(a^4b^2 + b^4a^2)^3(a+b)^2} \ge 2a^2b^2 \tag{2}$$
ve
$$\dfrac{2a^4b^2+2a+b}{5}+\dfrac{2a^2b^4+2b+a}{5} \ge a^2b+ab^2 \tag{3}$$
olup $(2)$ ve $(3)$ taraf tarafa toplanırsa $(1)$ eşitsizliğine ulaşılır. $a=b=1$ iken eşitlik sağlanır.

Kaynak: artofproblemsolving