Bir $n$ pozitif tam sayısı için, $n$ den küçük ve $n$ ile arasında asal olan pozitif tam sayıların sayısı $\phi(n)$ ile gösterilmek üzere, $$2^n + (n-\phi(n)-1)! = n^m+1$$ eşitliğini sağlayan tüm $(m,n)$ pozitif tam sayı ikililerini bulunuz.

$2013 \times 2013$ bir satranç tahtasının birim karelerine, her birim karede en çok bir taş olacak ve birim karelerden oluşan her $19\times 19$ karede de en az $21$ taş olacak biçimde en az kaç taş yerleştirilebileceğini belirleyiniz.

$\widehat{B}$ ve $\widehat{C}$ açılarının ölçüleri farklı olan dar açılı bir $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi $O$ ve iç teğet çemberinin merkezi de $I$ dır. $[BC]$, $[CA]$, $[AB]$ kenarlarının orta noktaları sırasıyla, $D$, $E$, $F$ ve $I$ dan $[AB]$ ye inilen dikmenin ayağı $T$ olsun. $DEF$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi $P$ ve $[OI]$ doğru parçasının orta noktası $Q$ olmak üzere, $A$, $P$, $Q$ noktaları doğrudaş ise, $$\dfrac{|AO|}{|OD|}-\dfrac{|BC|}{|AT|}=4$$ olduğunu kanıtlayınız.

$m^6 = n^{n+1} + n -1$ eşitliğini sağlayan tüm $(m,n)$ pozitif tam sayı ikililerini bulunuz.

Bir $ABC$ üçgeninin iç teğet çemberinin $[BC]$ kenarına teğet olduğu nokta $D$ ve merkezi $I$; $[ID]$ doğru parçasının orta noktası ise $T$ olsun. $I$ dan $AD$ doğrusuna çizilen dikme $AB$ ve $AC$ doğrularını sırasıyla, $K$ ve $L$ noktalarında; $T$ den $AD$ ye çizilen dikme de bu doğruları sırasıyla, $M$ ve $N$ noktalarında kesiyor. $|KM|\cdot |LN|=|BM|\cdot|CN|$ olduğunu gösteriniz.

$-2\leq x,y,z \leq 2$ ve $x^2+y^2+z^2+xyz = 4$ koşullarını sağlayan tüm $x,y,z$ gerçel sayıları için, $$\dfrac{z(xz+yz+y)}{xy+y^2+z^2+1} \leq K$$ olmasını sağlayan en küçük $K$ gerçel sayısını belirleyiniz.

Dışbükey bir $ABCD$ dörtgeninde köşegenlerin kesişim noktası $E$ olmak üzere, $m(\widehat{EDC}) = m(\widehat{DEC})=m(\widehat{BAD})$ koşulu sağlanıyor. $[BC]$ kenarı üstündeki bir $F$ noktası için, $m(\widehat{BAF}) + m(\widehat{EBF})=m(\widehat{BFE})$ ise, $A$, $B$, $F$, $D$ noktalarının çemberdeş olduğunu gösteriniz.

Tüm $x,y$ gerçel sayıları için,

$$f(x^2) = f(x)^2 -2xf(x)$$ $$f(-x) = f(x-1)$$ $$1<x<y \Longrightarrow f(x) < f(y)$$

koşullarını sağlayan bütün $f:\mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}^+$ fonksiyonlarını belirleyiniz.

Bir ülkedeki $n$ kentten bazıları arasında, herhangi iki kent arasında ulaşımı olanaklı kılacak ve her kentten en az $k$ sefer olacak biçimde karşılıklı uçak seferleri yapılmaktadır. Bu seferlerin, nasıl düzenlenmiş olurlarsa olsunlar, $n-k$ hava yolu şirketi arasında, herhangi bir kentten bir diğerine aynı hava yolu şirketini birden fazla kere kullanmadan gitmek mümkün olacak biçimde paylaştırılabileceğini kanıtlayınız.