$\mathbb{Z}^+$ pozitif tamsayılar kümesini göstersin. Her $m,k \in \mathbb{Z}^+$ için,

• $f(m,m) = m$
• $f(m,k) = f(k,m)$
• $f(m,m+k) = f(m,k)$

koşullarını sağlayan tüm $f: \mathbb{Z}^+ \times \mathbb{Z}^+ \rightarrow \mathbb{Z}^+$ fonksiyonlarını bulunuz.

Sıfırdan farklı bir rakamla başlayan bir rakam blokunun art arda iki kez tekrarından oluşan pozitif tamsayılara "çift tekrarlı sayı" diyeceğiz (Örneğin $360360$ "çift tekrarlı" bir sayı olup, $36036$ değildir). Bir tamsayının karesine eşit olan sonsuz sayıda "çift tekrarlı" sayı bulunduğunu kanıtlayınız.

$C_1$, $C_2$ verilen iki çember, $A_1$ noktası $C_1$ üzerinde ve $A_2$ noktası da $C_2$ üzerinde bulunan sabit noktalardır. $C_1$'in $A_1P_1$ kirişi, $C_2$'nin $A_2P_2$ kirişine paralel olduğuna göre $P_1P_2$'nin orta noktasının geometrik yerini bulunuz.

$n\times n$ bir satranç tahtasının her karesinde bir taş duruyor. $n^2$ taş toplanarak yine her kareye bir taş düşecek şekilde tekrar dağıtılıyor, öyle ki başlangıçta komşu olan taşlar yine komşu kalıyorlar. En az bir köşedeki taş yerini koruyorsa olabilecek tüm dağıtımları bulunuz (Not: Aralarında ortak kenar bulunan karelerdeki taşlara "komşu" diyoruz.).

Elimizde her biri pozitif bir tamsayı ağırlığından $n$ ($n>2$) tane ağırlık vardır. Bunlardan her birinin ağırlığı $n$'den küçük olduğu gibi, toplam ağırlıkları da $2n$'den küçüktür. Bu ağırlıkların, toplam ağırlığı $n$'ye eşit bir altkümesinin bulunduğunu kanıtlayınız.

$ABC$ ($AB=AC$) ikizkenar üçgeninin çevrel çemberine dıştan teğet olan çember $AB$ ve $AC$ doğrularına $P$ ve $Q$ noktalarında teğettir. $PQ$ doğru parçasının $I$ orta noktasının, üçgenin $BC$'ye dıştan teğet olan çemberinin (dış teğet çember) merkezi olduğunu ispat ediniz.