Bir $d$ doğrusuna sıra ile $A$, $B$, $C$ noktalarında teğet olan ($a>c>b$) $a$, $b$, $c$ yarıçaplı $k_1$, $k_2$, $k_3$ çemberleri veriliyor. $k_1$ çemberi $k_2$ ye ve $k_2$ çemberi de  $k_3$ çemberine teğettir. $k_3$ çemberine $E$ noktasında değen ve $d$ ye paralel olan teğet, $k_1$ çemberini $D$ noktasında kesiyor. $EB$ doğrusu, $d$ doğrusuna $A$ da dik olan doğruyu $F$ noktasında kestiğine göre, $AD=AF$ olduğunu ispat ediniz.

$x_i$ reel sayıları için $$x_1 + x_2 + x_3 = 0 \text{ ise } x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 \leq 0$$ eşitsizliği her zaman doğrudur; (Kanıtlayınız.)
Hangi $n\geq 4$ tam sayıları için $$x_1 + x_2 + \dots + x_n = 0 \text { ise } x_1x_2 + x_2x_3 + \dots + x_{n-1}x_n + x_nx_1 \leq 0$$ eşitsizliği her zaman doğru olur? Yanıtınızı kanıtlayınız.

$n$, $11$'den büyük ve eşit olan bir tek, tam sayı olsun; $k\in \mathbb{N}$, $k \geq 6$, $n=2k-1$.
$T=\{ (x_1, x_2, \dots, x_n) \bigm | x_i \in \{0,1\}, i=1,2,\dots, n \}$ ve $x=(x_1,x_2,\dots, x_n), y=(y_1, y_2, \dots, y_n) \in T$ için $$d(x,y) = \left | \{ i\in \{1,2,\dots, n \} \bigm | x_i \neq y_i \} \right |$$ diyelim. $T$ nin aşağıdaki şartları sağlayan bir $S$ alt kümesi varsa $n=23$ olduğunu gösteriniz.

• $|S|=2^k$
• Her $x\in T$ için $d(x,y)\leq 3$ olacak şekilde tam bir tane $y\in S$ vardır.

$ABCD$ konveks dörtgen ve
$$\begin{array}{rl}
E,F \in [AB],& AE  =  EF = FB \\
G,H \in [BC],& BG  =  GH = HC \\
K,L \in [CD],& CK  =  KL = LD \\
M,N \in [DA],& DM  =  MN = NA
\end{array}$$
dır.
$$ [NG] \cap [LE] = \{P\},  [NG]\cap [KF] = \{Q\},$$ $${[}MH] \cap [KF] = \{R\},  [MH]\cap [LE] = \{S\} $$
noktaları göz önüne alınıyor. Buna göre,

• $Alan(ABCD) = 9\cdot Alan(PQRS)$
• $NP = PQ = QG$

olduğunu ispat ediniz.

$m$ pozitif tam sayısı için $(m!)$ sayısındaki $2$ çarpanlarının sayısını $b_m$ ile gösterelim. (Yani $2^{b_m} | m!$ ve $2^{b_m + 1} \nmid m!$). $m-b_m=1990$ koşulunu sağlayan en küçük $m$ sayısını bulunuz.

$k\geq 2$ ve $n_1,\dots, n_k \in \mathbf{Z}^+$ olsun. Eğer $n_2 | (2^{n_1} -1)$, $n_3 | (2^{n_2} -1)$, $\dots$, $n_k | (2^{n_{k-1}} -1)$, $n_1 | (2^{n_k} -1)$ ise, $n_1 = \dots = n_k = 1$ olduğunu gösteriniz.