$\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}$ işleminin sonucu kaçtır?

$\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}=a+b\sqrt{5}$ olacak şekildeki $a$  ve  $b$  rasyonel sayılarını bulunuz.

Kaç $a$ tam sayısı için $$\begin {array} {rll}
x^2 + y^2 + a^2 &=& 32 \\
x+y-a &=& 8 
\end{array}$$ denklem sisteminin

• gerçel sayılarda
• tam sayılarda

çözümü vardır?

1-) $a,$$b,$$c$ ≥ $0$ ve $ab+bc+ca=3$. Gösteriniz ki
     
                           
                                $\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}≥3\sqrt{2}$
                                     
                                       (RMM- Phan Ngoc Chau)

2-) $a,$$b,$$c$ ≥ $0$ ve $abc+ab+bc+ca=4$. Gösteriniz ki

                           
                           
                                  $\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}≥3\sqrt{2}$
                                   
                                                           (AoPS Sqing)

3-) $a,$$b,$$c$ ≥ $0$ reel sayılardır ve $abc+ab+bc+ca=20$. Gösteriniz ki


                               $\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}≥3\sqrt{2}$
                                         
                                                    (Hüseyin Emekçi)


4-) $a,$$b,$$c$ ≥ $0$ reel sayılardır ve $abc+ab+bc+ca=54$. Gösteriniz ki


                                $\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}≥6$

                                                           (AoPS Sqing)


5-) $a,b,c\geq 0 $ ve $ab+bc+ca+abc=54$. Gösteriniz ki


$$\sqrt{a+1}+4\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}≥ 10$$

Hep beraber çözümleri buraya yazalım arkadaşlar.

$\begin{array}{rcl}
2\sqrt {1-x^2}\sqrt{1-y^2}&=&2xy-1\\
21\sqrt {1-x^2}-10\sqrt {1-y^2}&=&11\\
21x+10y &=&?
\end{array}$

Ortaokul 1996...

$9$. $x<y<z$ asal sayıları $$x+y+z=68$$
$$x.y+y.z+z.x=1121$$ denklem sisteminin çözümü ise $y.z$ çarpımı aşağıdakilerden hangisidir ?

$
\textbf{A)}\ 893
\qquad{B)}\ 919
\qquad{C)}\ 957
\qquad{D)}\ 989
\qquad{E)}\ 1003
$

Burada 2011-2012 arasındaki türkiye matematik olimpiyatı soruları ve çözümleri ingilizce olarak yer alıyor. (Official kitapçık)

Sınav yaklaşırken...

Çözümlerini paylaşmak isteyen konudan yazabilir , cevap anahtarı 1 gün sonra açıklanacak...

Müsait olan arkadaşlar bakabilir mi

$x,y,z\in \mathbf{R^+}$ olmak üzere $x+y+z=2$ ise

$$
\frac{(x-1)^2}{y}+\frac{(y-1)^2}{z}+\frac{(z-1)^2}{x}\geqslant\frac14\left(\frac{x^2+y^2}{x+y}+\frac{y^2+z^2}{y+z}+\frac{z^2+x^2}{z+x} \right).
$$

olduğunu gösteriniz.

hesap makinesiz (98/100)^198 nasıl hesaplarsın ? ipucu:özyinelemeleri denklemler

(Hüseyin Emekçi)
$y_{1},y_{2},...,y_{n},x,p,n\in \mathbf{R^+}$ pozitif reeller ve $n> p>2$ tamsayılar sağlanıyor, $a_{1},a_{2},...,a_{n}\geq 1$ tamsayılar, $m\geq 1$ olmak üzere


                                      $$\displaystyle \sum_{y_{i},i=1}^{i=p} {\sqrt[\dbinom{
n-1}{p-1}]{\frac{xy_{1}^{\frac{4m(n-1)!}{(n-p)!}} +k^2x}{\prod_{a_{1}+a_{2}+...+a_{p}=n}{(a_{1}y_{1}+a_{2}y_{2}+...+a_{p}y_{p})}}}}\geq \sqrt[\dbinom {n-1}{p-1}]{2xk}.2\binom{n+1}{p-1}\frac{\left(\frac{y_{1}+y_{2}+...+y_{n}}{p}\right)^{2m(p-1)!-1}}{n(n+1)}$$


olduğunu gösteriniz. Eşitlik durumu ne zaman sağlanır, belirleyiniz.

Lemmanın özel halleri için eşitsizlik 3 ve eşitsizlik 4 e bakabilirsiniz

Hızları sırasıyla $3$ km/sa ve $4$ km/sa olan Ahmet ve Burak, aralarında $77$ metre mesafe varken birbirlerine doğru yürüyüp top oynamaya başlıyorlar. Ahmet, Burak’a doğru topa sürekli saatte $5$ km hızla vuruyor; Burak da topu bekletmeden Ahmet’e doğru saatte $6$ km hızla geri gönderiyor. Ahmet ile Burak buluştuklarında, top toplam kaç metre yol almış olur?

(Hüseyin Emekçi)
$a,b,c,x,t\in \mathbb{R^+}$, $a+b+c=k$ ve $x\geq 2$ olmak üzere

$$ \frac{t-\sqrt{a}}{\sqrt{c+xa}}+\frac{t-\sqrt{b}}{\sqrt{a+xb}}+\frac{t-\sqrt{c}}{\sqrt{b+xc}}\geq \frac{3}{\sqrt{x+1}}\left(t\sqrt{\frac{3}{k}}-1 \right) $$

olduğunu gösteriniz.


Lemma'nın Daha Özel Hali:
$a,b,c,x\in \mathbf{R^+}$, $a+b+c=k$ ve $x\geq 2$ olmak üzere

$$ \frac{2-\sqrt{a}}{\sqrt{c+xa}}+\frac{2-\sqrt{b}}{\sqrt{a+xb}}+\frac{2-\sqrt{c}}{\sqrt{b+xc}}\geq \frac{3}{\sqrt{x+1}}\left(2\sqrt{\frac{3}{k}}-1 \right) $$


Not: İkisini de hazırlarken Eşitsizlik 136'dan esinlenip genelleştirdim. Bu lemmanın kullanım alanı olarak probleme buradan ulaşabilirsiniz.

1000000, 0100000, 0010000,..., 0000001  dizisindeki herhangi iki elaman alınarak toplanıyor. Bu şekilde an az kaç adımda tüm terimlerdeki 0 lar ile 1 ler yer değiştirir.

cd iki basamaklı asal sayı olmak üzere  dört basamaklı abcd  şeklinde kaç tane asal sayı vardır?

(Hüseyin Emekçi):
$x,y,z,a,b,c\in \mathbf{R^+}$ ve $x+y+z=k$ olmak üzere

     
                                   $$\frac{1}{\sqrt{x(ay+bz)}}+\frac{1}{\sqrt{y(az+bx)}}+\frac{1}{\sqrt{z(ax+by)}}\geq 3\sqrt{\frac{9}{k^2(a+b)}}$$


olduğunu gösteriniz.

(Hüseyin Emekçi)
$a,b,c, x, y, z \in \mathbf{R^+}$ ve $x+y+z\leq 3$ olmak üzere

                    $$(a+2b)(b+2c)(c+2a)\leq 3(a+b+c)(\frac{a^2}{\sqrt{x}}+\frac{b^2}{\sqrt{y}}+\frac{c^2}{\sqrt{z}})$$


olduğunu gösteriniz.

(Hüseyin Emekçi)
$a,b,c,x,n\in \mathbf{R^+}$ pozitif reeller, $i,j,s\geq 1$ tamsayılar,  $n\geq 4$ ve $k\geq 2$ olmak üzere


                                      $$\displaystyle \sum_{k=a}^c {\sqrt[\dbinom{
n-1}{2}]{\frac{xa^{4m(n-1)!} +4x}{\prod_{i+j+s=n}{(ia+jb+sc)}}}}\geq \sqrt[\dbinom {n-1}{2}]{4x}.2.\binom{n+1}{2}\frac{\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^{4m-1}}{n(n+1)}$$


olduğunu gösteriniz.

(Hüseyin Emekçi)
$a,b,c,x,n\in \mathbf{R^+}$, $n\geq 2$ ve $m\geq \frac{1}{2}$ olmak üzere


                                      $$\sum{\sqrt[n-1]{\frac{xa^{8m(n-1)!} +9x}{\prod_{i+j=n}{(ia+jb)}}}}\geq \sqrt[n-1]{6x}\left(\frac{\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^{4m-1}}{6n}\right)$$


olduğunu gösteriniz.

$a,b,c$ pozitif reeller olmak üzere


$$\dfrac{a}{a+5b+3c}+\dfrac{b}{b+5c+3a}+\dfrac{c}{c+5a+3b}\ge \dfrac{1}{3} $$


olduğunu gösteriniz.
AoPS

Müsaitseniz bakabilirmisiniz

(Hüseyin Emekçi)
Lemma:
$a,b,c,x,p,s,k\in \mathbf{R^+}$ , $k\geq \frac{1}{2}$ ve $a+b+c=t$ olmak üzere



$$\frac{a^{2k-1}+p}{xb+s}+\frac{b^{2k-1}+p}{xc+s}+\frac{c^{2k-1}+p}{xa+s}\geq \frac{9p+\frac{t^{2k-1}}{3^{2k-3}}}{xt+3s}$$



olduğunu gösteriniz. Eşitlik durumu ne zaman sağlanır, belirleyiniz.



Özelleştirilmiş Lemma:
$a,b,c,x,p,s\in \mathbf{R^+}$ ve $a+b+c=t$.


$$\frac{a^{7}+2}{xb+s}+\frac{b^{7}+2}{xc+s}+\frac{c^{7}+2}{xa+s}\geq \frac{\frac{t^{7}}{3^{5}}+18}{xt+3s}$$


olduğunu gösteriniz.

Soru Üzerinde Kullanımı:
$a,b,c\in \mathbf{R^+}$ ve $a+b+c=3$.


$$\frac{a^3+5}{b+2}+\frac{b^3+5}{c+2}+\frac{c^3+5}{a+2}\geq 6$$


olduğunu gösteriniz.

Bir $ABC$ üçgeninin kenarları olan $a$,$b$,$c$ için :

         
                        $$2+\sqrt{2}<\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a+b}}+\frac{\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{b+c}}+\frac{\sqrt{c}+\sqrt{a}}{\sqrt{c+a}}≤3\sqrt{2}$$

olduğunu gösteriniz. (AoPS)

Not: Kaynak taramasında sorunun sol tarafı için farklı bir değer olmalı ve o soru da AoPS de bulunuyormuş.

$N=(155-1)^2-267$ sayısının kaç pozitif böleni vardır?

$\textbf{a)}\ 2\qquad\textbf{b)}\ 3\qquad\textbf{c)}\ 4\qquad\textbf{d)}\ 6\qquad\textbf{e)}\ 8$

(Hüseyin Emekçi)
Genelleştirilmiş Hali:

$x,y,z,a,b\in \mathbf{R^+}$ olmak üzere

                                 $$\boxed{\frac{x(ax-by)}{y(az+bx)}+\frac{y(ay-bz)}{z(ax+by)}+\frac{z(az-bx)}{x(ay+bz)}\geq 3\frac{a-b}{a+b}}$$

olduğunu gösteriniz.


Lemmanın Özelleştirilmesi:
$x,y,z,b,c\in \mathbf{R^+}$ olmak üzere

                                  $$\frac{7x^2-bxy}{7yz+bxy}+\frac{7y^2-byz}{7zx+byz}+\frac{7z^2-bzx}{7xy+bzx}\geq \frac{3a-21}{b+7}$$

olduğunu gösteriniz.


Soruda Kullanılışı:
1-)
$x,y,z\in \mathbf{R^+}$ olmak üzere

                                  $$\frac{x(2x-y)}{y(2z+x)}+\frac{y(2y-z)}{z(2x+y)}+\frac{z(2z-x)}{x(2y+z)}\geq 1$$

olduğunu gösteriniz.


2-)
$x,y,z\in \mathbf{R^+}$ olmak üzere

                                $$\frac{x(3x-y)}{y(3z+x)}+\frac{y(3y-z)}{z(3x+y)}+\frac{z(3z-x)}{x(3y+z)}\geq \frac{3}{2}$$

olduğunu gösteriniz.



Not:Her paydaki ve paydadaki $|b|$ katsayılı terimlerin soruda önemli rol oynadığı; paydadaki $xy$ teriminin katsayısı $b$ değil de $d$ olsaydı farklı sonuçlar ortaya çıkacağı su götürmez bir gerçektir.

(Hüseyin Emekçi)

1-)
$a,b,c$ pozitif reeller, $k\geq 1$ olmak üzere $a+b+c=\dfrac{k+1}{2k}$ ise


$$\dfrac{1}{kab+(k+1)c^2+(k+1)c}+\frac{1}{kbc+(k+1)a^2+(k+1)a}+\frac{1}{kca+(k+1)b^2+(k+1)b}$$
$$\geq \frac{1}{k(ab+bc+ca)}$$

olduğunu gösteriniz.

(Hüseyin Emekçi)

1-)
$a,b,c,k\in\mathbf{R^+}$ ve $k\geq 1$ olmak üzere $a+b+c=3$ ise

$$a^kb+b^kc+c^ka+3k\geq (k+1)(ab+bc+ca)$$

olduğunu gösteriniz.

 Soru 6 :

$a,$ $b,$ $c,$ $d$ pozitif reel sayılar olmak üzere, eşitsizliğin minimum değeri nedir?

                                       
                                 $$\frac{\left(a^2+b^2+2c^2+3d^2\right)\left(2a^2+3b^2+6c^2+6d^2\right)}{\left(a+b\right)^2\left(c+d\right)^2}$$


Orijinal soruyla aynı tipte iki soru türetirsek:

1-)
$a,$ $b,$ $c,$ $d$ pozitif reel sayılar olmak üzere, eşitsizliğin minimum değeri nedir?


                           $$\frac{\left(4a^2+6b^2+12c^2+18d^2\right)\left(3a^2+2b^2+6c^2+9d^2\right)}{\left(a+b\right)^2\left(c+d\right)^2}$$


2-)
$a,$ $b,$ $c,$ $d$ pozitif reel sayılar olmak üzere, eşitsizliğin minimum değeri nedir?


                              $$\frac{\left(12a^2+3b^2+2c^2+8d^2\right)\left(24a^2+6b^2+16c^2+4d^2\right)}{\left(a+b\right)^2\left(c+d\right)^2}$$

$n>3$ ve $k,n$ birer pozitif tamsayı olmak üzere, $n^k$ kişinin yaşadığı bir şehirde, herkesin tam olarak $2k$ tane arkadaşı vardır ve arkadaşlıklar karşılıklıdır.Şehirde yakında telefon hizmetine başlanacaktır.Telefon numaraları ${0,1,\dots,n^k-1}$ sayılarının $n$ tabanına göre yazılmasıyla $k$ haneli Telefon numaraları elde edilecektir.$1$ hane hariç tüm hanelerdeki sayılar aynı olan ve farklı olan hanelerdeki sayının rakamları farkının da $n$'ye bölümünden kalan $1$ veya $n-1$ olan iki telefon numarası, indirimli konuşabiliyor.Arkadaşlıklar nasıl kurulursa kurulsun, Herkesin arkadaşıyla indirimli şekilde konuşabileceği bir dağıtımı mümkün kılan tüm $(n,k)$ ikililerini belirleyiniz.

$p$, $p|x^2-dy^2$ , ve $p\not\mid xy$ koşullarını sağlayan bir tek asal sayı olmak üzere , Bu denklemi sağlayan $d$ sayısına $\textit{p modunda guzel sayı }$ diyelim.$s\in \mathbb{Z^+}$ için, $d+s$ , $\textit{guzel sayı}$ olmuyor ise, $d$'ye $\textit{p modunda s tipi guzel sayı }$ diyelim. Bu koşulu sağlayan ${1,2,\dots,p-1}$ sayılarının sayısını $f(p,s)$ ile gösterelim.Tüm tek asal sayılar için , $f(p,s)$ yi hesaplayın.

$\int_{0}^{100} x(x-1)(x-2) \cdots (x-100) dx = ? $

Bir karenin ayritlari ve köşegenleri  mavi yada kırmızı kullanarak boyanacaktir.
A) 2 si mavi 4  ü  kırmızı
B) 3 ü mavi 3 ü kırmızı
Olmak uzere kaç farklı şekilde boyama yapılabilir. (Donmeler sonucu olusan  şekiller  özdeş  kabul edilecektir.)

Kombinatorik sorusu yardımcı olabilir misiniz arkadaşlar:

$29$ gün bir çiftlikte konaklayan Keloğlan'ın her biri $N$ tane şeker içeren $29$ tane torbası bulunuyor. Bu $29$ günün her birinde en az iki cüceden oluşan bir cüce grubu Keloğlan'ı ziyaret ediyor ve Keloğlan bir torbadaki bütün şekerleri o günkü misafir cücelere eşit olarak dağıtıyor. Herhangi iki günde Keloğlan'ı ziyaret eden cüce sayıları farklıysa, $N$ sayısının alabileceği en küçük değerin ondalık tabanda yazılımındaki rakamların toplamı kaçtır?

A) 9
B) 14
C) 21
D) 29



Not: Resim çok büyük olduğu için okunamıyordu. Resmi kaldırıp yazı formatında düzenledim. Forum kurallarında belirtildiği şekilde resim büyüklüklerine dikkat edelim lütfen (L. Gökçe).

$\sqrt{\dfrac{3^8+5^8+34^4}2} $ sayısını hesaplayınız (Çok ünlü bir üniversitenin giriş sınavında sorulduğu belirtilmiş)

Matkafasından Doğan Dönmez hocanın sorduğu bir soru.

$a$ ,$b$, $c$ gerçel sayıları için, $$\begin{array}{rcl} a+b+c &=& 2\\ a^2+b^2+c^2 &=& 2 \end{array}$$ ise, $abc$ çarpımının alabileceği değerleri bulunuz?

Makedonya 2010 Soru 2 Genelleştirilmiş (Hüseyin Emekçi):

$a,b,c,k\in \mathbb{R^+}$, $a+b+c=x$ ve $k\geq 1$ olmak üzere

$$\dfrac{a^k+k-1}{b+k-1}+\dfrac{b^k+k-1}{c+k-1}+\dfrac{c^k+k-1}{a+k-1}\geq \dfrac{3xk}{x+3k-3}$$

olduğunu gösteriniz.


Not: Asıl soruya bu bağlantıdan ulaşabilirsiniz.

$\sec 6^\circ - \tan 6^\circ = ?$

AoPS'de gördüğüm, Antalya olimpiyatına da gidebilecek tarzda hoş bir toplam sorusu paylaşalım:

Aşağıdaki $S$  toplamını hesaplayınız.

$$S=\dfrac{2}{3+1}+\dfrac{2^2}{3^2+1}+\dfrac{2^3}{3^4+1}+\cdots+\dfrac{2^{n+1}}{3^{2^n}+1}$$

Soru (Metin Can Aydemir): Verilen trigonometrik denklemi çözünüz, $$\csc{x}-\cot{2x}=\sqrt{3}.$$

Sorular ve cevap anahtarı yayınlandı.

Sorular ve cevap anahtarı yayınlanmıştır.

a^2+b^2+c^2+d^2=11*4^n   eşitliğini sağlayan kaç tane (a,b,c,d,n) tamsayi beşlisi vardır?

$a,b,c$ pozitif reeller ve $a+b+c=3$ olmak üzere

$$\sum_{cyc} \dfrac{a^{2}}{(b+c)^{3}}\geq \dfrac{3}{8}$$

olduğunu gösteriniz.

$a,b,c\in \mathbf{R^+}$ olmak üzere $\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}=3$ ise


$$\frac{a+b}{a^2+ab+b^2}+ \frac{b+c}{b^2+bc+c^2}+ \frac{c+a}{c^2+ca+a^2}\le 2$$

olduğunu gösteriniz

$n \geq 1$ olmak üzere; $\phi (n)$ ile $n$ ile aralarında asal pozitif tam sayıların sayısını gösterelim. Buna göre $\phi(x)=16$ eşitliğini sağlayan kaç pozitif tam sayı vardır?

Kaynak: Elementary Number Theory, David M. Burton.