Tübitak Lise Takım Seçme - 1991

Bir $ABC$ üçgeninin $AB,AC$ ve $BC$ kenarları üzerinde sırası ile $C'$, $B'$ ve $A'$ noktaları işaretleniyor.
$$\dfrac{AB'}{B'C}=\dfrac{BC'}{C'A}=\dfrac{CA'}{A'B}=k$$ olduğu bilindiğine göre, $AA', BB'$ ve $CC'$ doğrularının sınırladığı üçgenin alanının,
$ABC$ üçgeni alanına oranının $$\dfrac{(k-1)^{2}}{k^{2}+k+1}$$ olduğunu gösteriniz.

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=a^{2}b^{2}c^{2}d^{2}$ denklemini sağlayacak şekilde $a,b,c,d$ pozitif tam sayılarının bulunamayacağını gösterin.

$a_{i}$ katsayıları $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ kümesinden olmak üzere $\vert x\vert <1$ için tanımlı $f(x)=\sum_{i=1}^{\infty }{a_{i}x^{i}}$
fonksiyonu için $f\left(\frac{1}{10}\right)$ bir rasyonel sayıdır. Tamsayı katsayılı uygun $p(x)$ ve $q(x)$ polinomları ile fonksiyonun ($\vert x\vert <1$ için)
$$f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}$$ şeklinde yazılabileceğini kanıtlayınız.

Bir havuzun ortasında yanyana sıralanmış $N$-tane taşın üzerinde bir kurbağa sıçrıyor. Kurbağa bulunduğu taştan $p$ olasılıkla soldaki, $1-p$  olasılıkla ise sağdaki taşa sıçrıyor. En soldaki taştan sola, ya da en sağdaki taştan sağa sıçrayan kurbağa suya düşüyor. Sol baştan $k$-ıncı taşta bulunan kurbağanın ilk olarak sağ uçtan suya düşme olasılığını $p_{k}$ ile gösterirsek; $p<\frac{1}{3}$ için $p_{1}>\frac{1}{2}$ olduğunu kanıtlayınız.

$p$ yolcu, $n$ vagondan oluşan bir trene içinde yolculuk edecekleri vagonu rastgele seçerek binerler. Her vagonda en az bir yolcu bulunması olasılığını hesap ediniz.

Köşeleri $O,A,B,C$ olan bir bir dörtyüzlünün (üçgen piramidin) kenarlarının orta noktalarını köşe kabul eden (dışbükey) cismin hacmi $V$ ve bütün kenarlarının uzunlukları toplamı $U$ ise $$V\le \dfrac{(U-\vert OA\vert -|BC|)(U-\vert OB\vert -|AC|)(U-\vert OC\vert -|AB|)}{2^{7}\cdot 3}$$
olacağını gösteriniz.