Tübitak Lise Takım Seçme - 1993

Pozitif tamsayılardan oluşan, ilk terimi $16$ olan ve her teriminin farklı pozitif bölenlerinin sayısı $5$ ile bölünen sonsuz bir aritmetik dizinin var olduğunu gösteriniz. Bu tür diziler içinde ortak farkı en küçük olanını bulunuz.

Dar açılı $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi $M$ noktası olup, $(BMA)$ çemberi $BC$ kenarını $P$, $AC$ kenarını $Q$ noktasında kesiyor. Buna göre, $CM$ doğrusunun $PQ$ doğrusuna dik olduğunu ispatlayınız.

Her $n\ge 1$ için $b_{n+1}^{2}\ge \dfrac{b_{1}^{2}}{1^{3}}+ \dfrac{b_{2}^{2}}{2^{3}} + \ldots +\dfrac{b_{n}^{2}}{n^{3}}$ koşulunu sağlayan bir $(b_{n})$ pozitif reel sayı dizisi veriliyor. $$\sum_{n=1}^{K}{\dfrac{b_{n+1}}{b_{1}+b_{2}+\ldots +b_{n}}>\dfrac{1993}{1000}}$$ olacak şekilde bir $K$ tamsayısı bulunabileceğini gösteriniz.

İki şehir arasında en fazla bir yol bulunmak şartı ile, $v$ adet şehrin kimileri bir yol ile birbirine bağlanmıştır. $e$, bu yolların sayısını göstermek üzere

• $e<v-1$ olması halinde birinden diğerine seyahat edemeyeceğimiz en az bir çift şehrin bulunduğunu;
• $2e>(v-1)(v-2)$ olması halinde herhangi iki şehir arasında bir seyahatın mümkün olduğunu gösteriniz.

$AB$ çaplı, $O$ merkezli yarım çemberin $OE \perp AB$ olmak üzere çizilen $OE$ yarıçapı bir $AC$ kirişini yarı çemberin iç bölgesinde $D$ noktasında kesmektedir.$OBCD$ dörtgeninin teğetler dörtgeni olabilmesi için $\widehat{CAB}$ açısının alabileceği bütün değerleri belirleyiniz.

Her $x,y \in \mathbb{Q}^{+}$ için, $$f(x+\dfrac{y}{x})=f(x)+\dfrac{f(y)}{f(x)}+2y$$ koşulunu gerçekleyen tüm $f:\mathbb{Q}^{+}\to \mathbb{Q}^{+}$ fonksiyonlarını bulunuz.