$b\ge a$ olmak üzere verilen $a,b$ gerçel sayıları için aşağıdaki sistemin tüm çözümlerini bulunuz. $$ \begin{array}{rcl}
x_{1}^{2}+2ax_{1}+b^{2} &=& x_{2} \\
x_{2}^{2}+2ax_{2}+b^{2} &=& x_{3} \\
\vdots & & \vdots \\
x_{n-1}^{2}+2ax_{n-1}+b^{2} &=& x_{n} \\
x_{n}^{2}+2ax_{n}+b^{2} &=& x_{1}
\end{array}$$

Not: Andreescu, Kedlaya, Zeitz e ait Mathematical Contests 1995-1996, Olympiad Problems and Solutions from around the World kitabında $b\geq a > 0$ olarak düzeltilmiş.

$n$ pozitif bir tamsayı olmak üzere $\sigma (j)\ge j$ koşulunu sağlayan tam olarak iki $j$ nin bulunduğu $\sigma : \lbrace 1,2,\ldots ,n\rbrace \to \lbrace 1,2,\ldots ,n\rbrace $ permütasyonlarının sayısını bulunuz.

Bir $ABC$ eşkenar üçgeni veriliyor. Bu üçgenin $O$ merkezli çevrel çemberinin $\overset\frown{AC}$ (küçük) yayı üzerinde $A$ ve $C$ den farklı bir $D$ noktası alınıyor. $D$ den $BC$ ve $AC$ doğrularına indirilen dikmelerin ayakları sırayla $E$ ve $F$ olmak üzere, $EF$ ile $OD$ nin kesim noktasının geometrik yeri nedir?

$ABCD$ dışbükey dörtgeninde $m(\widehat{CAB})=40^{\circ}$, $m(\widehat{CAD})=30^{\circ}$, $m(\widehat{DBA})=75^{\circ}$ ve $m(\widehat{DBC})=25^{\circ}$ dir. $m(\widehat{BDC})$ yi bulunuz.

Aşağıdaki önermeyi ispatlayınız:
[Her $a$ pozitif tamsayısı için $n \mid a^{n}-a$] $\Longleftrightarrow$ [$n$ nin her $p$ asal böleni için $p^{2} \nmid n$ ve $p-1 \mid n-1$].

$\left( x_{n} \right )$ gerçel sayı dizisi $$x_{1}=1, \quad x_{n+1}=x_{n}+x_{n}^{1/3} \qquad (n\ge 1)$$ biçiminde tanımlanıyor. $\lim \limits_{n\to \infty }\dfrac{x_{n}}{an^{b}}=1$ olacak şekilde $a$ ve $b$ gerçel sayılarının varlığını gösteriniz.