$\prod_{n=1}^{1996}{(1+nx^{3^n})}$ çarpımının, $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m}$ sıfırdan farklı ve $k_{1}<k_{2}<\ldots
<k_{m}$ olacak şekilde açılımını $1+a_{1}x^{k_{1}}+a_{2}x^{k_{2}}+\ldots +a_{m}x^{k_{m}}$ ile gösterelim. $a_{1996}$ katsayısını hesaplayınız.

Bir $ABCD$ paralelkenarında $\widehat{A}$ açısı dar açı olup, $[AC]$ köşegeni çap alınarak çizilen çember $CB$ ve $CD$ doğrularını $E$ ve $F$ noktalarında kesmektedir. Bu çemberin $A$ noktasındaki teğeti, $BD$ doğrusunu $P$ noktasında kesiyorsa; $P,F,E$ noktalarının aynı doğru üzerinde olduğunu kanıtlayınız.

$0=x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{2n}< x_{2n+1}=1$ olacak şekilde $x_i$ gerçel sayıları veriliyor. Her $i\in \lbrace 1,2,\ldots , 2n\rbrace $ için $x_{i+1}-x_{i}\le h$ ise, $$\sum_{i=1}^{n}{x_{2i}(x_{2i+1}-x_{2i-1})}$$ toplamının $$\left(\dfrac{1-h}{2},\dfrac{1+h}{2}\right)$$ aralığında olduğunu kanıtlayınız.

Bir $ABCD$ dışbükey dörtgeninde $Alan(ABC)=Alan(ADC)$ olup, $[AC]$ ve $[BD]$ köşegenlerinin kesim noktası $E$'dir. $E$
noktasından $\lbrack AD\rbrack ,\lbrack DC\rbrack ,\lbrack BC\rbrack ,[AB]$ kenarlarına çizilen paralel doğrular $\lbrack AB\rbrack $, $\lbrack BC\rbrack $, $\lbrack CD\rbrack $, $\lbrack DA \rbrack $ kenarlarını sıra ile $K$, $L$, $M$, $N$ noktalarında kestiğine göre, $$\dfrac{Alan(KLMN)}{Alan(ABCD)}$$ oranını hesaplayınız.

Her $a,b \in \mathbb{Z}$ için $S_{a,b}=\lbrace n^{2}+an+b:n\in \mathbb {Z}\rbrace $ biçiminde tanımlanan kümelerin en çok kaç tanesinin ikişer ikişer ayrık olduğunu belirleyiniz.

Hangi $a,b$ pozitif gerçel sayıları için, $$\lim _{n\to \infty }(ax_{n+1}-bx_{n})=0$$ eşitliğini sağlayan her $\lbrace x_{n}\rbrace $ dizisinin limiti $0$ olur?