Geomania.Org Forumları

$A$ açısı dik açı olan $ABC$ üçgeninin hipotenüsüne ait yükseklik ayağı $H$ dir. $ABC$, $ABH$ ve $AHC$ üçgenlerinin iç teğet çemberlerinin yarıçapları toplamının $|AH|$ uzunluğuna eşit olduğunu gösteriniz.

$a_{1}=\alpha , b_{1}=\beta $ ve her $n\ge 1$ için $$a_{n+1}=\alpha a_{n}-\beta b_{n} \text{ , } b_{n+1}=\beta a_{n}+\alpha b_{n}$$ şeklinde tanımlanan $(a_{n})$ ve $(b_{n})$ dizilerinde $a_{1997}=b_{1}$ ve $b_{1997}=a_{1}$ olacak biçimde kaç $(\alpha ,\beta )$ gerçel sayı sıralı ikilisi vardır?

Bir futbol liginde $x$ tane oyuncusu olan bir $X$ takımından $y$ tane oyuncusu olan bir $Y$ takımına bir futbolcu transfer olduğunda, $y\ge x$ ise federasyon $Y$ takımından $y-x$ milyar lira alıyor, $x>y$ ise federasyon $X$ takımına $x-y$ milyar lira ödüyor. Bir sezon boyunca bir futbolcu istediği kadar takım değiştirebiliyor. $18$ takımlık ligde sezona tüm takımlar $20$ şer futbolcu ile başlar ve sezon sonunda bu takımlardan $12$ sinde $20$ şer, geri kalan $6$ takımda ise sırasıyla $16,16,21,22,22,23$ futbolcu bulunursa, federasyon bu sezon süresince en çok kaç milyar lira kazanmış olabilir?

Köşeleri birim çember üzerinde bulunan bir $ABCDE$ dışbükey beşgeninin $[AE]$ kenarı bu çemberin merkezinden geçmektedir. $\vert AB\vert =a$, $\vert BC\vert =b$, $\vert CD\vert =c$, $\vert DE\vert =d$ ve $ab=cd=\dfrac{1}{4}$ ise, $\vert AC\vert+\vert CE\vert$ toplamının $a,b,c,d$ türünden değeri ne olur?

Her $p\ge 7$ asal sayısı için, $$\begin{array}{lclr}
x_1^2 + y_1^2 & \equiv & x_2^2 & \quad \pmod p \\
\\ x_2^2 + y_2^2 & \equiv & x_3^2 & \quad \pmod p \\
\\ \dots \\
\\ x_{n-1}^2 + y_{n-1}^2 & \equiv & x_n^2 & \quad \pmod p \\
\\ x_n^2 + y_n^2 & \equiv & x_1^2 & \quad \pmod p
\end{array}
$$ denklik sistemi sağlanacak biçimde bir $n$ pozitif tam sayısı ile $p$ ye bölünmeyen $x_1, x_2, \dots, x_n$, $y_1, y_2, \dots, y_n$ tam sayılarının bulunabileceğini gösteriniz.

$n\ge 2$ verilmiş bir tam sayı olsun. $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}=1$ koşulunu sağlayan $x_{1},x_{2},\ldots x_{n}$ pozitif sayıları için, $$
\dfrac{x_{1}^{5}}{x_{2}+x_{3}+\ldots + x_{n}} + \dfrac{x_{2}^{5}}{x_{1}+x_{3}+\ldots + x_{n}} + \dots + \dfrac{x_{n}^{5}}{x_{1}+x_{2}+\ldots + x_{n-1}}$$ toplamının alabileceği en küçük değeri bulunuz.