$|AB|=|AC|$ olmak üzere bir $ABC$ ikizkenar üçgeninin eşit kenarları üzerine, üçgenin dış bölgesinde kalacak şekilde $BAXX'$ ve $CAYY'$ kareleri çiziliyor. $[BC]$ nın herhangi bir $K$ noktasından $BY$ ve $CX$ doğrularına indirilen dikmelerin ayakları sırasıyla $E$ ve $F$, $[BC]$ nın orta noktası $D$ ile gösterilmek üzere, $\vert DE\vert =\vert DF\vert $ olduğunu ispatlayınız. $[EF]$ nın orta noktasının geometrik yerini bulunuz.

$a_{1}=t$ ve $n\ge 1$ için $a_{n+1}=4a_{n}(1-a_{n})$ şeklinde tanımlanan gerçel sayılar dizisinde $a_{1998}=0$ olmasını sağlayan kaç $t$ değeri olduğunu bulunuz.

$A=\lbrace 1,2,3,4,5\rbrace $ olsun. Tüm $B, C \subset A$ kümeleri için $f(B) \in B$ ve $f(B\cup C) \in \{f(B), f(C)\}$ koşullarını sağlayan bütün $f:2^A \setminus \{\emptyset\} \rightarrow A$ fonksiyonlarının sayısını bulunuz.

$n$ değişik lojman $n$ kişiye dağıtılacaktır. Herkesin lojmanlara ilişkin bir tercih sıralaması vardır ve hiç kimse farklı iki lojman arasında kayıtsız değildir. Dağıtım yapıldıktan sonra, herkesi en az bu dağıtım kadar hoşnut edecek ve en az bir kişiyi de bu dağıtımda kendisine düşen lojmana tercih ettiği bir lojmana kavuşturacak başka bir dağtımın bulunmadığı anlaşılır. Yapılan dağıtımda, en az bir kişiye $n$ lojman arasında en çok tercih ettiği lojmanın düşmüş olduğunu kanıtlayınız.

Bir $ABC$ üçgeninin $[AB]$ kenarına $A$ noktasında teğet olan ve $C$ noktasından geçen çember ile $[AC]$ kenarına yine $A$ noktasında teğet olan ve $B$ noktasından geçen çemberin yarıçapları farklı olup bu iki çember $A$ dan farklı bir $D$ noktasında kesişiyor. $E$ noktası $[AB$ ışını üzerinde bulunan ve $|AB|=|BE|$ koşulunu gerçekleyen nokta olma üzere; $A,D,E$ noktalarından geçen çember ile $[CA$ ışının $A$ dan farklı olan kesişim noktası $F$ ise, $\vert CF\vert =\vert AC\vert $ olduğunu ispatlayınız.

$f(x_{1},\ldots ,x_{n})$ katsayıları tam sayılar ve derecesi $n$ den küçük olan bir polinom olsun. $N$, $f(x_{1},\ldots ,x_{n})\equiv 0 \pmod {13}$ denkliğini ve $1\leq i \leq n$ için $0\le x_{i} < 13$ koşulunu sağlayan $(x_{1}, x_2, \ldots ,x_{n})$ sıralı $n$ lilerinin sayısı ise, $13 \mid N$ olduğunu gösteriniz.