Tübitak Lise Takım Seçme - 1999
1
$m\le n$ şeklinde pozitif sayılar ve $p$ asal sayısı verilmiş olsun. $a_{r},b_{s}\ne 0$ ve her $i,j$ için $0\le a_{i},b_{j}<p$ olmak üzere $$\begin{array}{rcl} m&=&a_{0}+a_{1}p+\ldots +a_{r}p^{r} \\ n &=& b_{0}+b_{1}p+\ldots +b_{s}p^{s} \end{array}$$ olsun. Her $i=0,1,\ldots r$ için $a_{i}\le b_{i}$ ise $m\prec_{p}n$ diyeceğiz. $p\nmid\binom{n}{m}$ olması için gerek ve yeter koşulun $m\prec_{p}n$ olduğunu gösteriniz.
2
$ABCD$ kirişler dörtgeninde $L$ ve $N$ sırasıyla $AC$ ve $BD$ köşegenlerinin orta noktaları olsun. $ANC$ açısının açıortayı $
BD$ ise, $AC$'nin $\widehat{BLD}$ açısının açıortayı olduğunu gösteriniz.
3
Her $x \in \mathbb{R}$ için $f(x-1-f(x) )=f(x)-x-1$ şartını sağlayan ve $$ \left \lbrace \dfrac{f(x)}{x} : x\ne 0 \right\rbrace $$ kümesinin sonlu olduğu tüm $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ fonksiyonlarını bulunuz.
4
Çevresi $C_K$, alanı $A_K$ olan bir kirişler dörtgeninin çevrel çemberine bu dörtgenin köşelerinde teğet olan teğetler dörtgeninin alanı $A_T$ ve çevresi de $C_T$ olmak üzere $\dfrac{A_K}{A_T} \geq \left(\dfrac{C_K}{C_T}\right)^2$ olduğunu ispatlayınız.
5
Başlangıçta her biri farklı bir parça bilgiye sahip olan $A,B,C,D,E$ ve $F$, ikişer ikişer telefonla görüşürler. Konuşmalar aynı santral üzerinden yapıldığı için, her seferinde ancak iki kişi görüşebilmektedir. Her konuşmada, iki taraf da, o ana kadar edinmiş olduğu tüm bilgileri karşı tarafa aktarır. Herkesin altı parça bilginin tümünü edinmesi için en az kaç konuşma yapılması gerektiğini belirleyiniz.
6
Düzlemin sonlu sayıda parabolün iç bölgelerinin birleşimi olmadığını gösteriniz. (Bir parabolün dış bölgesi, parabolü kesmeyen doğruların birleşimidir. Bir parabolün iç bölgesi ise, parabolün dış bölgesinde olmayan noktaların oluşturduğu kümedir.)