$m\le n$ şeklinde pozitif sayılar ve $p$ asal sayısı verilmiş olsun. $a_{r},b_{s}\ne 0$ ve her $i,j$ için $0\le a_{i},b_{j}<p$ olmak üzere $$\begin{array}{rcl} m&=&a_{0}+a_{1}p+\ldots +a_{r}p^{r} \\ n &=& b_{0}+b_{1}p+\ldots +b_{s}p^{s} \end{array}$$ olsun. Her $i=0,1,\ldots r$ için $a_{i}\le b_{i}$ ise $m\prec_{p}n$ diyeceğiz. $p\nmid\binom{n}{m}$ olması için gerek ve yeter koşulun $m\prec_{p}n$ olduğunu gösteriniz.

$ABCD$ kirişler dörtgeninde $L$ ve $N$ sırasıyla $AC$ ve $BD$ köşegenlerinin orta noktaları olsun. $ANC$ açısının açıortayı $
BD$ ise, $AC$'nin $\widehat{BLD}$ açısının açıortayı olduğunu gösteriniz.

Her $x \in \mathbb{R}$ için $f(x-1-f(x) )=f(x)-x-1$ şartını sağlayan ve $$ \left \lbrace \dfrac{f(x)}{x} : x\ne 0 \right\rbrace $$ kümesinin sonlu olduğu tüm $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ fonksiyonlarını bulunuz.

Çevresi $C_K$, alanı $A_K$ olan bir kirişler dörtgeninin çevrel çemberine bu dörtgenin köşelerinde teğet olan teğetler dörtgeninin alanı $A_T$ ve çevresi de $C_T$ olmak üzere $\dfrac{A_K}{A_T} \geq \left(\dfrac{C_K}{C_T}\right)^2$ olduğunu ispatlayınız.

Başlangıçta her biri farklı bir parça bilgiye sahip olan $A,B,C,D,E$ ve $F$, ikişer ikişer telefonla görüşürler. Konuşmalar aynı santral üzerinden yapıldığı için, her seferinde ancak iki kişi görüşebilmektedir. Her konuşmada, iki taraf da, o ana kadar edinmiş olduğu tüm bilgileri karşı tarafa aktarır. Herkesin altı parça bilginin tümünü edinmesi için en az kaç konuşma yapılması gerektiğini belirleyiniz.

Düzlemin sonlu sayıda parabolün iç bölgelerinin birleşimi olmadığını gösteriniz. (Bir parabolün dış bölgesi, parabolü kesmeyen doğruların birleşimidir. Bir parabolün iç bölgesi ise, parabolün dış bölgesinde olmayan noktaların oluşturduğu kümedir.)