$ABC$ üçgeninde $A$ köşesine ait iç ve dış açıortaylar $BC$ yi sırasıyla $D$ ve $E$ de kesiyor. $DE$ çaplı çember ile $AC$, ikinci kez $F$ de kesişiyor. $ABF$ üçgeninin çevrel çemberine $A$ da teğet olan doğru $DE$ çaplı çember ile ikinci kez $G$ de kesişiyor. $\vert AF\vert =|AG|$ olduğunu gösteriniz.

$P(x)=x+1$ ve $Q(x)=x^{2}+1$ olmak üzere; $(x_{1},y_{1})=(1,3)$ ve her $k$ için, $(x_{k+1},y_{k+1}) $'in ya $ (P(x_{k}),Q(y_{k}))$ ya ya da $(Q(x_{k}),P(y_{k}))$ ya eşit olduğu $((x_{k}, y_{k}))_{k\in \mathbb{N}}$ dizilerini ele alalım. Bu dizililerden en az biri için $x_{n}=y_{n}$ ise $n$ ye iyi sayı diyeceğiz. Tüm iyi sayıları bulunuz.

Herhangi bir sonsuz uzunluktaki üçgen prizmanın, kesişimleri eşkenar üçgen olacak şekilde bir düzlemle kesilebileceğini gösteriniz.

$ABCD$ eşkenar dörtgeninin $AB,BC,CD,DA$ kenarları üzerinde $MN\parallel LK$ ve $MN$ ile $KL$ arasındaki uzaklık $ABCD$ nin yüksekliğine eşit olacak şekilde sırasıyla $M,N,K,L$ noktaları alınıyor. $ALM$ üçgeni ile $NCK$ üçgeninin çevrel çemberleri kesişirken, $LDK$ üçgeni ile $MBN$ üçgeninin çevrel çemberlerinin kesişmediğini gösteriniz.

Her $x,y\in \mathbb{R}$ için $$\vert f(x+y)-f(x)-f(y)\vert \le 1$$ olacak şekilde $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ fonksiyonu tanımlanıyor. Her $x,y\in \mathbb{R}$ için $\vert f(x)-g(x)\vert \le 1$ ve $g(x+y)=g(x)+g(y)$ olacak şekilde bir $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ fonksiyonun var olduğunu gösteriniz.