$2001$ çocuktan her biri pozitif bir tam sayı tutuyor ve tuttuğu sayı ile kendi dışındaki $2000$ çocuktan istediklerinin isimlerini defterine yazıyor. Defterler toplanıp, her çocuğa, defterine isimlerini yazmış olduğu çocukların tuttuğu sayıların toplamından, kendisini listelerine dahil etmiş olan çocukların tuttuğu sayıların toplamı çıkartılarak elde edilen yeni bir sayı veriliyor. Çocuklara verilen yeni sayıların hepsinin birden pozitif olup olamayacağını belirleyiniz.

$O$ merkezli birim çemberin $AB$ çapına, $|OT|>1$ olacak şekilde seçilen bir $T$ noktasında teğet olan bir çember, birim çemberi $C$ ve $D$ ile gösterilen farklı iki noktada kesiyor. $O$, $D$ ve $C$ noktalarından geçen çemberin $AB$ doğrusunu $O$ dışında kestiği nokta $P$ olmak üzere, $$|PA|\cdot |PB| = \dfrac {|PT|^2}{|OT|^2}$$ olduğunu gösteriniz.

Tüm $x,y, z$ tam sayıları için, $$S(x,y,z) = (xy - xz, yz-yx, zx - zy)$$ olsun. $a$, $b$ ve $c$, $abc>1$ koşulunu sağlayan tam sayılar olmak üzere, $0<k\leq abc$ ve her $n\geq n_0$ tam sayısı için $$S^{n+k}(a,b,c) \equiv S^n(a,b,c) \pmod {abc}$$ koşullarını sağlayan $n_0$ ve $k$ tam sayılarının bulunduğunu gösteriniz.

($S^1 = S$ ve her $m\geq 1$ tam sayısı için, $S^{m+1} = S \circ S^m$)

($(u_1, u_2, u_3) \equiv (v_1, v_2, v_3) \pmod M \Longleftrightarrow u_i \equiv v_i \pmod M (i=1,2,3).$)

$5^x = 1 + 4y + y^4$ eşitliğini sağlayan tüm $(x,y)$ sıralı tam sayı ikililerini bulunuz.

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninin yüksekliklerinin kesişim noktası $H$, $[AC]$ kenarının orta noktası da $D$ olsun. $DH$ doğrusunun, $ABC$ üçgeninin çevrel çemberi ile $[BH]$ çaplı çemberin bir kesişim noktasından geçtiğini gösteriniz.

Her $x$ gerçel sayısı için, $$f(x-f(x)) = \dfrac x2$$ koşulunu sağlayan sürekli bir $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ fonksiyonunun bulunmadığını gösteriniz.