$a$ ve $b$ farklı tam sayılar olmak üzere, $ab(a+b)$ sayısı $a^2 + ab+ b^2$ ile bölünüyorsa, $$|a-b|>\sqrt[3]{ab}$$ olduğunu gösteriniz.

Bir $ABC$ üçgeninde $\widehat{ABC}$ nin açıortayı $[AC]$ yi $D$ de; $\widehat{BCA}$ nın açıortayı $[AB]$ yi $E$ de kesiyor. $BD$ ve $CE$ doğrularının kesişim noktası $X$ olmak üzere, $|BX|=\sqrt 3|XD|$ ve $|XE|=(\sqrt 3 - 1)|XC|$ dir. $ABC$ üçgenin iç açılarının ölçülerini bulunuz.

$a_1,\dots, a_n$ gerçel sayıları ile $n$ pozitif tam sayısı verildiğinde, $$|\sum\limits_{i=1}^m a_i -\sum\limits_{i=m+1}^n a_i | \leq |a_k|$$ olacak biçimde $m$ ve $k$ pozitif tam sayıları bulunduğunu gösteriniz.

Tüm gerçel sayılar üzerinde tanımlı bir $f$ fonksiyonunun en az iki simetri merkezi varsa, bu fonksiyonun bir doğrusal fonksiyon ile bir periyodik fonksiyonun toplamı şeklinde yazılabileceğini gösteriniz.

$[$Her $x$ gerçel sayısı için $f(a-x) + f(a+x) =2f(a)$ olacak biçimde bir $a$ gerçel sayısı varsa, $(a,f(a))$ noktasına $f$ fonksiyonunun bir simetri merkezi denir.$]$

Bir $A$ noktasında içten teğet iki çemberden küçük olanı üzerinde $A$ dan farklı bir $C$ noktası alınıyor. Büyük çember, küçük çembere $C$ den çizilen teğeti $D$ ve $E$ noktalarında; $AC$ doğrusunu da $A$ ve $P$ noktalarında kesiyor. $PE$ doğrusunun $A$, $C$ ve $E$ den geçen çembere teğet olduğunu gösteriniz.

$n>1$ olmak üzere, uzayda, herhangi dördü düzlemdeş olmayan $2n+1$ noktayı birbirlerine birleştiren doğru parçalarını kırmızı, beyaz ya da maviye boyuyoruz. Bu nokta kümesinin bir $M$ altkümesine, eğer her $a,b \in M$ için $x_0x_1, x_1x_2, \dots, x_{l-1}x_1$ doğru parçaları aynı renkte olacak biçimde, $M$ ye ait $a=x_0,x_1, \dots, x_l = b$ noktaları varsa, bir tek-renk bağlantılı altküme diyoruz. Boyama işlemi nasıl yapılırsa yapılsın, mutlaka $k$ elemanlı tek-renk bağlantılı bir altküme oluşuyorsa, $k$ nin alabileceği en büyük değeri bulunuz. ($l > 1$)