Tübitak Lise Takım Seçme - 2003

$M = \{(a,b,c,d)|a,b,c,d \in \{1,2,3,4\} \text{ ve } abcd > 1\}$ olsun. Her $n\in \{1,2,\dots, 254\}$ için $$|a_{n+1} - a_n|+|b_{n+1} - b_n|+|c_{n+1} - c_n|+|d_{n+1} - d_n| = 1$$ koşulunu sağlayan ve içinde $M$ ye ait her elemanın tam olarak bir kez geçtiği bir $(a_1, b_1, c_1, d_1)$, $(a_2, b_2, c_2, d_2)$, $\dots$, $(a_{255}, b_{255},c_{255},d_{255})$ dizisinde $c_1 = d_1 = 1$ ise, $(a_1,b_1)$ ikilisinin alabileceği tüm değerleri bulunuz.

Köşegenleri $K$ noktasında kesişen konveks bir $ABCD$ dörtgeninde $L\in [AD]$, $M \in [AC]$, $N \in [BC]$ noktaları, $KL\parallel AB$, $LM\parallel DC$, $MN\parallel AB$ koşullarını sağlıyorsa, $$\dfrac{Alan(KLMN)}{Alan(ABCD)} < \dfrac {8}{27}$$ olduğunu gösteriniz.

Bütün terimleri doğal sayıların $1$ den büyük kuvvetleri olan

• $2003$ terimli
• sonsuz

bir aritmetik dizi var mıdır?

$(x^2+y^2)^2 + 2tx(x^2 + y^2) = t^2y^2$ denkleminin $x,y$ pozitif tam sayılar olmak üzere bir çözümünün bulunmasını sağlayan en küçük $t$

• pozitif gerçel sayısını
• pozitif tam sayısını

bulunuz.

$A$, $O$ merkezli bir çemberin üstünde bir nokta ve $B$ de $[OA]$ nın orta noktası olsun. $C$ ve $D$, çember üstünde ve $OA$ doğrusunun aynı tarafında, $\widehat{CBO} = \widehat{DBA}$ koşulunu sağlayan noktalar olmak üzere, $[CD]$ nin orta noktasının $B$ ye göre simetriğinin yine çember üstünde olduğunu gösteriniz.

Her $n$ pozitif tam sayısı için, $p(n)$, terimleri toplamı $n$ ye eşit olan ve azalmayan pozitif tam sayı dizilerinin sayısını göstermek üzere
$$\dfrac{1+p(1)+p(2) + \dots + p(n-1)}{p(n)} \leq \sqrt {2n}$$ olduğunu kanıtlayınız.